Работа внешних сил при вращении тела вокруг неподвижной оси

Элементарная работа, совершаемая силой F за время dt, по определению (11.1) равна:

.

где dr — перемещение точки приложения силы;

r — радиус-вектор точки приложения силы при условии, что начало отсчета лежит на оси вращения Z;

— угловая скорость вращения тела;

v — скорость точки приложения силы.

Осуществив в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей, получим.

= N dt = Nd. (28.1).

Знак работы силы зависит от знака проекции момента силы относительно оси вращения.

Работа А силы F при повороте тела на угол ₀ равна следующему интегралу.

(28.2).

где N_z — момент силы F относительно оси Z.

Это выражение будет справедливо в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, поскольку только в этом случае момент силы будет однозначной функцией угла поворота .

Выражение (28.1) можно также получить, используя теорему о приращении кинетической энергии.

Действительно, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной оси Z равна: Е_кин =. Взяв производную по от обеих частей равенства, придем к соотношению:

dE_кин = I_z- d = I_z-d = N_zd =A, что совпадает с выражением (28.1).

В заключение, приведем таблицу основных формул механики поступательного и вращательного движений.

Таблица.

Поступательное движение.	Вращательное движение.
r — положение точки (радиус-вектор).	— угловое положение (угол поворота).
— линейная скорость.	угловая скорость.
— ускорение.	— угловое ускорение.
m— инерция тела (масса).	Iz— момент инерции тела.
p = mv— импульс.	Mz=Iz — момент импульса.
F -сила.	N— момент силы.
— второй закон Ньютона.	— основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси.
— кинетическая энергия поступательного движения тела.	— кинетическая энергия вращательного движения тела:
А = F dr — работа силы.	— работа силы.

Из сопоставления этих выражений видно, что во всех случаях в отличие от поступательного движения при вращательном движении роль инерции играет момент инерции, роль силы — момент силы, роль импульса — момент импульса, а линейные кинематические параметры заменяются на угловые.

Эти аналогии позволяют легко запомнить все основные соотношения механики вращающегося движения.