Доверительный интервал. 
Ядерная медицина. 
Радионуклидная диагностика

Вследствие случайной природы радиоактивного распада результаты измерения всегда имеют некоторую неопределенность. Поэтому существует небольшая вероятность того, что значения параметров, оцениваемых из этих измерений, будут равны их истинным значениям. Доверительные уровни определяют интервалы или диапазоны вокруг измеряемой величины, в пределах которой с разумной вероятностью находится истинное значение параметра. Для случайных переменных, имеющих гуссовское распределение вероятностей, доверительные интервалы обычно фиксируются в пределах ±2 (95%-ная степень доверия) или ±3 (99,7%-ная степень доверия) стандартных отклонения. Так 95%-ный доверительные интервалы для разности скоростей счета, рассмотренных в предыдущем разделе, будут следующие:

Отметим, что 0 не попадает в 95%-ный доверительный интервал для 10 и 36 секундных измерений. Это согласуется с отбрасыванием нулевой гипотезы при 0,05 уровне значимости.

Тест ?2

Тест хи-квадрат (х²) является вероятностной статистикой, которая применяется к арифметическим операциям, включающим суммирование квадратов разностей. Выражение для хи-квадрат следующее:

где Xj — i-измеряемая величина; x_{expected i} — значение, ожидаемое при каждом измерении на основании некоторой модели; — стандартное отклонение при 1-измерении.

Статистика (критерий) у} используется для тестирования гипотез и подгонки кривых. Простой %²-тест можно применить для определения, являются ли наблюдаемые статистические флуктуации результатов измерений разумными. Или, другими словами, обусловлены ли статистические вариации в ряде измерений статистической случайностью или вариацией других объектов, таких как оборудование, пациент и т. п. Если проведена серия идентичных измерений числа отсчетов, то х² рассчитывается из выражения.

где т — среднее значение в серии.

Так как данные счета имеют пуассоновское распределение, то т является не только оценкой ожидаемого значения случайной величины (количества отсчетов), но также и оценкой а,². Используя уравнение (2.14), приходим к следующей формуле:

Преобразуя (2.19) и (2.20), получаем.

Если счетчик работает правильно, то следует ожидать, что SD² будет близко к т. Отсюда получаем, что у² должно быть близко к числу измерений (размеру выборки) минус единица (N — 1), которую принято называть «число степеней свободы». Вероятность получения различных значений у} табулирована в зависимости от числа степеней свободы и в кратком виде приводится в табл. 2.4.

Если статистические флуктуации соответствуют ожидаемым значениям, то у² будет близко к N-1 и иметь вероятность, близкую к 0,5. В типовых ситуациях принимаются значения у², которые оказываются в диапазоне вероятностей от 0,1 до 0,9. Если вероятность, связанная со значением у², оказывается вне данного диапазона, то этот факт служит указанием «что-то неладно со счетчиком».

Рассмотрим пример. Пусть проведена серия из десяти измерений счета от детектора, среднее значение в которых равно 1000 и стандартное отклонение равно 38. Чему равно значение у², какова его вероятность Р и какое из этого указание?

Используя уравнение (2.21), имеем.

Из табл. 2.4 находим (интерполируя), что вероятность получения величины, большей, чем 12,99 с 9 степенями свободы примерно равна Р = 0,2. Так как этот результат попадает в допустимый диапазон, то приходим к выводу, что с детектором все в порядке. Однако 10 измерений являются относительно небольшой выборкой, и ее может оказаться недостаточно для обнаружения неисправности счетчика.

Таблица 2.4

Значения вероятностей для критерия хи-квадрат в зависимости от числа степеней свободы [9].

Пусть теперь серия состоит из 30 измерений с теми же значениями средней величины и стандартного отклонения. Тогда.

Из табл. 2.4 находим, что вероятность получения величины, большей, чем 41,9, с 29 степенями свободы Р < 0,05. Так как этот результат не попадает в допустимый диапазон, будет разумным сделать вывод о неисправности детектора.