Введение. 
Задача коммивояжера в комбинаторике и пути их решения

Комбинаторика — раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью комбинаторного анализа является изучение комбинаторных конфигураций. Это изучение включает в себя вопросы существования комбинаторных конфигураций, алгоритмы их построения, оптимизацию таких алгоритмов, а также решение задач перечисления, в частности определение числа конфигураций данного класса. Простейшим примером комбинаторных конфигураций являются перестановки, сочетания и размещения.

Большой вклад в систематическое развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем (диссертация «Комбинаторное искусство»), Я. Бернулли (работа «Искусство предположений»), Л. Эйлером. Можно считать, что с появлением работ Я. Бернулли и Г. Лейб-ница комбинаторные методы выделились в самостоятельную часть математики. В работах Л. Эйлера по разбиениям и композициям натуральных чисел на слагаемые было положено начало одному из основных методов перечисления комбинаторных конфигураций — методу производящих функций.

Возвращение интереса к комбинаторному анализу относится к 50-м годам ХХ в. в связи с бурным развитием кибернетики и дискретной математики и широким использованием электронно-вычислительной техники. В этот период активизировался интерес к классическим комбинаторным задачам. Классические комбинаторные задачи — это задачи выбора и расположения элементов конечного множества, имеющие в качестве исходной некоторую формулировку развлекательного содержания типа головоломок.

Рис. 1.

В 1859 г. У. Гамильтон придумал игру «Кругосветное путешествие», состоящую в отыскании такого пути, проходящего через все вершины (города, пункты назначения) графа, изображенного на рис. 1, чтобы посетить каждую вершину однократно и возвратиться в исходную. Пути, обладающие таким свойством, называются гамильтоновыми циклами.

Задача о гамильтоновых циклах в графе получила различные обобщения. Одно из этих обобщений — задача коммивояжера, имеющая ряд применений в исследовании операций, в частности при решении некоторых транспортных проблем.