Дисперсионные уравнения для световых волн в фотонном кристалле

Под законом дисперсии электромагнитных волн принято понимать соотношение между частотой и волновым вектором электромагнитной волны. В вакууме закон дисперсии имеет вид прямой щ = ck, где c — скорость света. В анизотропных веществах или в структурах со сложным пространственным.

распределением диэлектрической проницаемости закон дисперсии щ (k) становится многомерной фигурой.

Рассмотрим задачу о законе дисперсии и зонной структуре одномерных фотонных кристаллов. Полагая фотонный кристалл линейной средой, запишем волновое уравнение для распространения электромагнитной волны E(z, t) вдоль направления периодичности фотонного кристалла в виде.

(2.1).

Поскольку диэлектрическая проницаемость е (z) — периодическая функция с периодом фотонного кристалла.

(2.2).

где амплитуды фурье-гармоник к_?m= k^?_m.

По теореме Блоха, собственные решения волнового уравнения в периодическом потенциале (диэлектрической проницаемости) представимы в виде плоских волн, с амплитудой u_k, являющейся периодической функцией с периодом фотонного кристалла.

E_k(z, t) = u_k(z)exp (i (kz? щ_kt)), (2.3).

u_k(z + a) = u_k(z) (2.4).

Волновое число k нумерует моды Ek (z, t), а частота моды поля щ_kявляется собственным значением волнового уравнения.

Периодичность функции E_k (z, t) позволяет разложить ее в ряд Фурье.

(2.5).

Используя первые три члена ряда (2.2).

(2.7).

При m = 0, выражение (2.1) запишется в виде:

(2.8).

(2.9).

Выделенными являются частоты щ_k — к₀^½ck и волновые числа, поскольку в их окрестности E₀и E_?1сингулярно возрастают и являются определяющими в фурье-разложении (2.5).

В этом случае, всеми остальными членами ряда можно пренебречь, и выражения (2.8) и (2.9) примутвид системы двух связанных уравнений для амплитуд E₀и E_?1:

(2.10).

Существование решения системы определяется характеристическим уравнением, получаемым из равенства нулю детерминанта.

(2.11).

Решение характеристического уравнения дает определяет закон дисперсии в окрестности волновых чисел в виде:

(2.12).

При |k| = р/a, закон дисперсии имеет разрыв и в диапазоне частот система (2.10) не имеет решений, т. е. мод электромагнитного поля с такими частотами не существует, что соответствует фотонной запрещенной зоне.

(2.13).

Таким образом, в одномерных фотонных кристаллах при значениях волновых чисел в окрестности ±р/2, которые, как будет показано ниже, соответствуют границе первой фотонной зоны Бриллюэна, закон дисперсии электромагнитных волн существенно меняется по сравнению с законом дисперсии однородного вещества, а точно на границе зоны Бриллюэна испытывает разрыв, ширина которого определяется глубиной пространственной модуляции диэлектрической проницаемости в фотонном кристалле.