Динамическая модель Кейнса

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Х (/), ?(/), ?(/), /(/) — соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени /. Тогда справедливы следующие соотношения:

где a (t) — коэффициент склонности к потреблению (0 < a (t) < 1), b (t) — автономное (конечное) потребление, k (t) — норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (20.10), положительны.

Поясним смысл уравнений (20.10). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу — этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве плюс конечное потребление — эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным; он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a (t)_y b (t)_y k (t) и ?(/), являющиеся характеристиками функционирования и развития государства, заданы. Требуется найти динамику национального дохода, т.с. Y как функцию времени 1.

Подставим выражения для S{t) из второго уравнения и /(/) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции К (/):

Как было показано в п. 18.2.3, существует достаточно сложная формула общего решения этого уравнения. Проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а_у b и к постоянными числами. Тогда уравнение.

(20.11) упрощается до случая линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какоголибо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (20.12) возьмем так называемое равновесное (стационарное) решение, когда Y' = 0, т. е.

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дастся формулой д^Сехрр-^/ j, так что общее решение уравнения (20.12) имеет вид:

Интегральные кривые уравнения.

(20.12) показаны на рис. 20.3. Если в начальный момент времени Y₀ < К_р, то С = Yq — Y < 0 и кривые уходят вниз от равновесного решения (20.13), т. е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а_у Ь_у к и Е_у так как показатель экспоненты в (20.14) положителен. Если же Y₀ > Y_py то С > 0 и национальный доход растет во времени; интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = У_р.

равнение zv.iz) является рис. 20.3.

Согласно классификации, данной в п. I8.2.2, уравнение (20.12) является автономным. На фазовой плоскости точка У = К_р представляет собой точку неустойчивого равновесия.