Симплексное планирование. 
Статистическая обработка данных, планирование эксперимента и случайные процессы

При построении оптимальных моделей перспективного планирования широко используется симплексный метод, суть которого определяется алгоритмом решения оптимизационной задачи линейного программирования путем перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Применение математики в экономических исследованиях неразрывно связано с именем нобелевского лауреата Л. В. Канторовича. В его работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939) впервые были изложены основные положения нового направления математики, позднее получившего название линейного программирования. Практическая реализация положений теории позволила решить задачи экономического расчета наилучшего использования ресурсов, а также эффективного использования и развития транспорта.

Практическое применение симплекса для решения задач экспериментальных исследований особую роль приобретает в условиях непрерывного производства. Симплексный метод планирования был разработан в начале 1960;х гг. Он базируется на использовании плана, при котором экспериментальные точки задаются положением правильного симплекса. Правильный симплекс — это правильный выпуклый многоугольник с к + 1 вершинами, расположенный в k-мерном пространстве. Например, в пространстве двух измерений это равносторонний треугольник, в пространстве трех измерений — тетраэдр. Симплекс обладает важным свойством, которое используется при процедуре оптимизации. Это свойство заключается в том, что из любого симплекса можно получить новый симплекс, если одну из вершин переместить в точку, зеркально симметричную относительно противолежащей грани. Это показано на рис. 2.15, где симплекс АВС преобразуется в симплекс СВА' отражением вершины А в «грани» ВС.

Рис. 2.15. Пример симплекса 2-го порядка.

Идея симплексного метода заключается в последовательном преобразовании симплекса, его «движении» к экстремуму. Проиллюстрируем процедуру применения метода на примере оптимизации двухфакторного процесса. Точка, с которой начинается процесс оптимизации, выбирается из априорных соображений, например на основе существующих регламентирующих положений. Эта точка служит центром начального положения симплекса. Опыты производятся в точках факторного пространства, соответствующего вершинам симплекса (треугольника). Размер симплекса (длина стороны треугольника) определяется допустимым интервалом варьирования. Чтобы двигаться к экстремуму, необходимо от исходного симплекса перейти к симплексу, находящемуся в области повышенных (если ищется максимум) значений отклика. Это достигается следующим образом. Сравниваются значения отклика в вершинах треугольника. Находится вершина, в которой отклик минимален. Следующий опыт ставится в точке, зеркально симметричной этой вершине. Тем самым симплекс перемещается «подальше» от неблагоприятной точки. Для нового положения симплекса опять сравниваются значения откликов, находится минимальный, и процесс движения симплекса повторяется. Так происходит до тех пор, пока симплекс не начнет вращаться вокруг некоторой точки, которую и следует принять за оптимальную — ту, где достигается экстремум. Описанное движение симплекса показано на рис. 2.16. Цифры 1, V, 1″, 2, 2' и т. д. указывают последовательность положений соответствующих вершин треугольника.

Рис. 2.16. Вращение симплекса в окрестностях экстремума (точка С).

Координаты вершин правильного fc-мерного симплекса с центром, расположенным в начале координат, можно определить из следующей матрицы:

где г, и Я, — радиусы сфер, соответственно вписанных в i-мерный симплекс и описанных около него.

Если принять длину ребра i-мерного симплекса равной единице, то радиусы г, и Я, вычисляются по формулам.

В приведенной выше матрице координаты вершин задаются строками матрицы. Первой вершине соответствует первая строка, второй — вторая и т. д. Отчеркнутая слева сверху часть матрицы задает координаты трех вершин треугольника. Можем их вычислить и записать в явном виде.

Предварительно найдем.

_ (1 1 Л

Тогда получаем, что первая вершина имеет координаты —, —-j= ,.

i л f 1) ^ ²

вторая —, —j=, третья 0, —j=. Что это действительно так, легко про;

2v3) V v3y.

верить непосредственно по рис. 2.17.

Рис. 2.17. Определение вершин симплекса 2-го порядка.

Приведем также формулу, позволяющую вычислить координаты новой вершины симплекса, являющейся зеркальным отражением прежней вершины:

l_v

где —2j^xin — среднее значение координат всех точек симплекса, кроме.

fc п

прежней, отбрасываемой; х'? — координата прежней вершины. Координаты задаются в кодированной системе.

Для того чтобы пояснить применение формулы (2.66) и показать процесс симплексного планирования, приведем пример оптимизации режимов работы зерноуборочного комплекса ЖИП, описанной в работе профессора В. Ф. Папуловского^[1].

Параметром оптимизации, откликом, являлся процент потерь зерна П (%). Базовые значения и интервалы варьирования указаны в табл. 2.13.

На рис. 2.18 показан процесс движения симплекса к оптимуму (экстремуму) в соответствии с табл. 2.14.

Значения факторов.

Рис. 2.18. К определению области локализации экстремума.

Таблица 2.13

Значения точек эксперимента

Таблица 2.14

Пример использования формулы (2.66) для определения координат вершины A^v:

Индекс 4 означает, что эта точка является четвертой (три принадлежат начальному симплексу АВС). Кодовые значения пересчитываются в натуральные в соответствии с принятым интервалом варьирования.

Вращение симплекса вокруг точки A^v указывает, что оптимум находится в точке с координатами Х_г = 115 рад/с, Х₂ = 0,6 м/с.

Симплексный метод обладает рядом положительных качеств, позволяющих использовать его в производственных условиях. Простота, возможность включения дополнительных факторов на любом этапе исследования, автоматическое исправление даже грубых ошибок опыта являются ценными свойствами этого метода.

При планировании научных исследований и обработке результатов опытов все более широкое применение находят компьютерные системы обработки экспериментальных данных. В качестве примера можно сослаться на ресурс Statistica от StatSoft. На сайте StatSoft приводится широчайшая база примеров решения конкретных задач из различных сфер деятельности, которая представляет практический интерес для студентов, аспирантов и научных работников различных специальностей, включая электронику, радиотехнику, экономику и медицину и проч.

Контрольные вопросы

• 1. Что такое цель эксперимента, объект исследования, отклик, фактор, функция отклика?
• 2. Объясните что такое пассивный и активный эксперименты. В чем их особенности? Приведите примеры.

• 3. Дайте определение и приведите примеры однофакторных и многофакторных экспериментов. Что такое план эксперимента и каково его графическое представление?
• 4. Что такое полный факторный эксперимент? Каковы его свойства? Что такое полный факторный план?
• 5. Что такое дробный факторный эксперимент? Что является его предпосылкой, исходящей из уровня значимости эффектов взаимодействия? Приведите определения дробных реплик и неполных блоков, генерирующих соотношений и определяющих контрастов.
• 6. Что такое планы второго порядка и в каких случаях целесообразно их использование?
• 7. Опишите процедуру планирования на симплексе. Проиллюстрируйте этот метод на примере определения оптимального режима в двухфакторном эксперименте.
• 8. Опишите процедуру крутого восхождения.
• 9. Что такое рандомизированный план?
• 10. Для чего применяется рандомизация?
• 11. Когда нельзя применять рандомизированные планы?

Задачи для самостоятельного решения

• 1. Определите коэффициенты регрессионной модели, если отклики при проведении ПФЭ типа 2² равны: у₁ = 15;у₂ = 10; у₃ = 1;у₄ = 7.
• 2. Проведен полный факторный эксперимент типа 2² с двумя параллельными опытами в каждой точке, который дал следующие результаты: у_п = 3; у 12 = 5; У 1з = Ю; у₁₄ = 14; у₂₁ = 3; у₂₂ = 4; у₂₃ = 11; у₂₄ = 20. Найдите значения коэффициентов Ь, регрессионной модели.
• 3. Определите число точек в плане дробного факторного эксперимента при числе факторов к = 8 и при дробности реплики р = 3 (1/8-реплика). Сравните с числом опытов при полном факторном эксперименте.

• [1] Папуловский, В. Ф. Планирование эксперимента в промышленности: учеб, пособие. М.: МИРЭА, 1998.