Введение. 
Показательные уравнения и логарифмы

Название «математика» происходит от греческого слова «матейн» (mathein) — учиться, познавать. Древние греки вообще считали, что понятия «математика» (mathematike) и «наука», «познание» (mathema) — синонимы. Им было свойственно такое понимание универсализма этой отрасли знания, которое два тысячелетия спустя выразил Рене Декарт, писавший: «К области математики относят науки, в которых рассматриваются либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое…; таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая все, относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов…».

Другое объяснение происхождения слова «математика» связано с греческим словом «матема» (mathema), что означает урожай, сбор урожая. Разметка земельных участков (геометрия), определение сроков полевых работ (на основе астрономических наблюдений и вычислений), подготовка необходимого количества посевных материалов и подсчет собранного урожая требовали серьезных математических знаний.

Показательные уравнения

Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах = аb, где, а > 0, а? 1, х — неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

Теорема. Если, а > 0, а? 1 и ах1 = ах2, то х1 = х2.

Обоснуем рассмотренное утверждение.

Предположим, что равенство х1 = х2 не выполняется, т. е. х1 < х2 или х1 = х2. Пусть, например, х1 1, то показательная функция у = ах возрастает и поэтому должно выполняться неравенство ах1 < ах2; если 0 < а ах2. В обоих случаях мы получили противоречие условию ах1 = ах2.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.

Решить уравнение 4 • 2х = 1.

Решение.

Запишем уравнение в виде 22 • 2х = 20 — 2х+2 = 20, откуда получаем х + 2 = 0, т. е. х = -2.

Ответ. х = -2.

Задача 2.

Решить уравнение 23х • 3х = 576.

Решение.

Так как 23х = (23) х = 8х, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8х • 3х = 242 или в виде 24х = 242.

Отсюда получаем х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача 3.

Решить уравнение 3х+1 — 2•3х — 2 = 25.

Решение.

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х — 2, получаем 3х — 2 • (33 — 2) = 25 — 3х — 2• 25 = 25,.

откуда 3х — 2 = 1, т. е. х — 2 = 0, х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача 4.

Решить уравнение 3х = 7х.

Решение.

Так как 7х? 0, то уравнение можно записать в виде 3х/7х = 1, откуда (3/7) х = 1, х = 0.

Ответ. х = 0.

Задача 5.

Решить уравнение 9х — 4 • 3х — 45 = 0.

Решение.

Заменой 3х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а2 — 4а — 45 = 0.

Решая это уравнение, находим его корни: а1 = 9, а2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.

Уравнение 3х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ. х = 2.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств ах > аb или ах < аb. Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Рассмотрим некоторые задачи.

Задача 1.

Решить неравенство 3х < 81.

Решение.

Запишем неравенство в виде 3×1, то функция у = 3х является возрастающей.

Следовательно, при х < 4 выполняется неравенство 3х < 34, а при х? 4 выполняется неравенство 3х? 34.

Таким образом, при х < 4 неравенство 3х < 34 является верным, а при х? 4 — неверным, т. е. неравенство.

3х < 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Ответ. х < 4.

Задача 2.

Решить неравенство 16х +4х — 2 > 0.

Решение.

Обозначим 4х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t — 2 > 0.

Это неравенство выполняется при t 1.

Так как t = 4х, то получим два неравенства 4×1.

Первое неравенство не имеет решений, так как 4х > 0 при всех х € R.

Второе неравенство запишем в виде 4х > 40, откуда х > 0.

Ответ. х > 0.

Задача 3.

Графически решить уравнение (1/3) х = х — 2/3.

Решение.

• 1) Построим графики функций у = (1/3) х и у = х — 2/3.
• 2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х? 1. Проверка доказывает, что

х = 1 — корень данного уравнения:

(1/3) 1 = 1/3 и 1 — 2/3 = 1/3.

Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3) х убывающая, а функция у = х — 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй — больше 1/3; при х 1 и х < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х? 1.

Ответ. х = 1.

! Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3) х > х — 2/3 выполняется при х < 1, а неравенство (1/3) х 1.

логарифм уравнение неравенство математический.