Каскадная теория в приближении Б

Приведенные ранее рассуждения относились к случаю, когда энергия лавинных частиц Е > е в легких веществах и Е >Е_П экр.- в тяжелых. Однако при экспериментальном наблюдении лавины (например, с помощью ионизационных калориметров) регистрируются все частицы, способные создавать ионизацию в детекторе, т. е. практически заряженные частицы любых энергий. Поэтому следующее приближение каскадной теории (приближение Б) должно учитывать ионизационные потери электронов лавины, комптоновское рассеяние фотонов и уменьшение сечения образования ими электронно-позитронных пар с уменьшением энергии.

Учесть ионизационные потери можно введением в кинетическое уравнение для электронов нового дополнительного члена. Этот член должен, с одной стороны, учитывать, что в энергетический интервал (Е, Е + dE] в результате ионизационного торможения на пути dt может войти часть электронов из интервалов с более высокой энергией, и, с другой стороны, часть электронов может покинуть этот интервал по той же причине, Поэтому изменение числа электронов в энергетическом интервале (Е, Е + dE) за счет ионизационного поглощения может быть описано выражением т.к. на пути dt на ионизацию вещества расходуется энергия dE= б dt.

Для фотонов переход к более низким энергиям по сути мало что изменит, если рассматривать каскад в легком веществе (рис. 4.2а), т.к. учет комптоновского рассеяния компенсирует падение сечения рождения пар. Поэтому суммарный коэффициент поглощения фотонов в легких веществах остается постоянным вплоть до энергии фотонов hv ~ 0.1-б.

Рис. 4.2. Вероятности: 1- рождения пар, 2-комптоновского рассеяния, 3- их сумма на lt₀ -единице в воздухе (а) и свинце (б)

В тяжелых (рис. 4.2б) веществах необходимо учитывать сложную зависимость сечения взаимодействия фотонов от их энергии. Это обстоятельство приводит к тому, что приходится решать каскадные уравнения для легких и тяжелых веществ отдельно. Добавление этих членов в полученные ранее уравнения сразу же существенно усложняет задачу. Для решения этих уравнений разработаны специальные методы: метод моментов, метод статистических испытаний и др. Несмотря на возросшую сложность уравнений, решение их приводит к выводу, что общая качественная картина развития каскада в веществе остается прежней: зависимость числа частиц от глубины t также, как и в приближении А, описывается функцией с максимумом. Однако количественные изменения довольно существенны.

В легких веществах глубина максимума лавины t_max и число электронов с энергией Е > 0 в максимуме каскада будут Появление в этих выражениях е вместо Е понятно, т.к. частицы с энергией Е <�е не участвуют в дальнейшем развитии каскада, быстро поглощаясь из-за ионизационных потерь.

Таким образом, число частиц в максимуме каскада в тяжелых веществах меньше, а глубина максимума больше, чем в легких веществах, т. е. электронно-фотонная лавина глубже проникает в тяжелые вещества.

Таблица 4.2. Зависимость параметров kj и к₂ от Е₀

Это происходит из-за того, что в тяжелых веществах энергия полного экранирования существенно меньше, чем в легких веществах. Поэтому суммарный коэффициент поглощения фотонов с энергиями, близкими к е, в тяжелых веществах существенно меньше, чем для фотонов больших энергий. Следовательно, фотоны таких энергий (~ е) в тяжелых веществах являются более проникающими, т.к. поглощаются слабее. Фотоны проносят энергию вглубь и затягивают лавину. Кроме того, отношение числа фотонов к числу электронов лавины в тяжелых веществах существенно больше, чем в легких веществах. На рис. 4.3 приведены каскадные кривые в свинце для числа электронов N (> 0, E_o, t) в ливне, вызванном первичным электроном энергии Е₀. .

Энергетический спектр лавинных электронов остается степенным ~ E^s, как и в случае приближения А. В максимуме ливня (s = 1) около 80% электронов имеют энергию меньше критической б и около 5% -менее 0,3 е. Средняя энергия электронов в максимуме каскада близка к е. Энергетический спектр лавинных электронов за максимумом практически не зависит от Ео. Наклон каскадных кривых в этой области одинаков для разных Е₀.

Эта часть каскадных кривых может быть аппроксимирована экспонентой e, т. е. на пути в 3,3 каскадных единицы число ливневых частиц уменьшается в е раз.

Вся первичная энергия частицы Е₀, в конечном счете расходуется на ионизацию, производимую заряженными частицами. Все остальные процессы (радиационное торможение, образование пар, комптон-эффект) лишь переводят энергию от фотонов к электронам и обратно. Поэтому справедливо считать, что теряется энергия ливня только за счет ионизации. Поэтому должно выполняться соотношение (закон сохранения энергии).