Изображение разности потенциалов на комплексной плоскости

Потенциалы цепи переменного тока являются комплексными числами. На комплексной плоскости комплексное число можно изображать либо точкой, координаты которой равны действительной и мнимой частям комплексного потенциала, либо вектором, направленным от начала координат к данной точке плоскости.

На рис. 3.17 представлены два вектора, изображающие собой комплексные потенциалы: ф_а = -2 + Sj и ф_ь = 4 + j.

Рис. 3.17.

По определению, разность потенциалов й_аЬ =ф_а-ф_ь = -6 + 4j; U_ab изобразится вектором, направленным от Ь к а. Первый индекс у напряжения (в нашем примере индекс а) указывает, к какой точке следует направить стрелку вектора напряжения. Естественно, что U_ba = -U_ab.

Топографическая диаграмма

Каждая точка электрической схемы, в которой соединяются элементы схемы, имеет свое значение комплексного потенциала.

Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комплексные потенциалы одноименных точек электрической схемы, называют топографической диаграммой.

Термин «топографическая» объясняется тем, что диаграмма напоминает топографическую карту местности, где каждой точке местности отвечает определенная точка карты. Расстояние между двумя точками на местности можно определить, измерив расстояние между одноименными точками на карте.

Аналогичные измерения можно проводить и на топографической диаграмме. Напряжение между любыми двумя точками электрической схемы, например между точками а и Ь, по значению и направлению определяется вектором, проведенным на топографической диаграмме от точки b к точке а.

При построении топографической диаграммы, как и потенциальной (см. параграф 2.10), потенциал любой точки схемы может быть принят равным нулю. На диаграмме эту точку помещают в начало координат. Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме определяется параметрами цепи, ЭДС и токами ветвей. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 37.

По данным примера 35 построить топографическую диаграмму для схемы рис. 3.16, а.

Решение. Обозначим буквами а, Ъ, с,… точки схемы на рис. 3.16, а, которые хотим отобразить на топографической диаграмме. Примем потенциал точки а равным нулю: ф_а = 0.

Выразим потенциал точки b через потенциал точки а:

Знак «плюс» перед слагаемым обусловлен тем, что при переходе от точки а к точке Ь перемещение происходит навстречу току (при этом потенциал увеличивается на Точка b на диаграмме имеет координату по оси абсцисс +10. Аналогично.

Совокупность точек a, b, с, d, е на комплексной плоскости (рис. 3.18) представляет собой топографическую диаграмму схемы на рис. 3.16, а. По ней удобно определять напряжение между любыми двумя точками схемы и сдвиг по фазе этого напряжения относительно любого другого напряжения.

Рис. 3.18.

Пример 38.

Найти точки в схеме (рис. 3.19) методом узловых потенциалов. Положительные направления ЭДС указаны на схеме стрелками, е_л =12C)V2sincot В; е₃ =10oV2cos (cot-120°) В; R- 2 Ом; 1/(о)С₂) = 10 Ом; wL₃ = 5 Ом.

Рис. 3.19.

Решение. Запишем ЭДС в комплексной форме: = 120, Ё₃ = 100еЭзо°.

Выберем положительные направления для токов в ветвях к узлу а. Определим проводимости ветвей:

Заземлим точку Ъ. Уравнение по методу узловых потенциалов Токи в ветвях.

Найти токи в схеме (рис. 3.20, а) методом контурных токов и построить топографическую диаграмму, если Ё_г = 100 В; Ё₃ = 100е>⁹⁰° В; Х_с = 1/(соС) = = 2 Ом; R = 0)1 = 5 Ом.

Рис. 3.20.

Решение. Выберем направления контурных токов 7_П и /₂₂ ^п0 часовой стрелке. Запишем в общем виде уравнения для контурных токов (ср. с уравнениями (2.13)):

где Z_u — собственное сопротивление первого контура, Z_n =R—— = 5−2j;

to С.

Z₂₂ — собственное сопротивление второго контура, Z₂₂ = R + j (oL₃ = 5 + 5j;

Z2 ~ Z21 — сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком «минус», Z₁₂ = -R — -5; Ё_п — алгебраическая сумма ЭДС первого контура, _: = 100; Ё₂₂ — алгебраическая сумма ЭДС второго контура,.

Ё22 ⁼ ~Ё₃ = —100).

Следовательно,.

Определитель системы.

Токи в схеме.

Топографическая диаграмма изображена на рис. 3.20, б.