Расчет стоимости аннуитета

Задания

1. Господин Иванов в конце каждого месяца переводит 1000р. за счет в банк, начисляющий ежемесячно сложные проценты по номинальной ставке 9% годовых. Какая сумма накопится на счете за два года, при сохранении на это время всех указанных условий без изменения?

аннуитет финансовый погашение кредит.

Рис. 1 Применение функции БЗ=FV для расчета будущей стоимости аннуитета

Таблица 1. Аннуитетные финансовые функции в исходной русификации.

Таблица 2. Аннуитетные финансовые функции в новейшей русификации.

Выполним расчет будущей стоимости аннуитета поэтапно. Ниже, на рис. 2, в восьмой строке таблицы рабочего листа дан формат вызова функции =БЗ, возвращающий то же самое числовое значение, которое в ячейке седьмой строки найдено по рекуррентным формулам.

Рис. 2. " Аннуитетный треугольник" постнумерандо

В зависимости от выбора пользователем из полного списка аргументов встроенной функции =БЗ (норма; число_периодов; выплата; нз; тип) подмножества тех аргументов, значения которых известны в задаче, можно с помощью одной и той же функции посчитать и наращенную сумму вклада, и будущую стоимость аннуитета, причем с переключением формул между типами потоков платежей постнумерандо и пренумерандо.

Рассмотрим полностью возможные варианты.

• 1,46 р. = FV (0,1;4;0;-1;0) =FV (0,1;4;0;-1;0) =FV (0,1;4;;-1) — будущая стоимость одного вложенного рубля (нз=-1) после четырех раз (число_периодов=4) присоединения к нему процентных денег, начисляемых в конце периода по ставке сложных процентов 10% (норма=0,1) без дополнительных поступлений и выплат. В связи с полным отсутствием в течение срока промежуточного потока платежей нет смысла уточнять и момент их поступления в нулевом размере (тип=0, значение используется по умолчанию).
• 1,61 р. =FV (0,1;5;0;-1;0) =FV (0,1;5;0;-1;0) =FV (0,1;5;;-1) — будущая стоимость одного вложенного рубля (нз=-1) после пяти раз (число_периодов=5) присоединения к нему процентных денег, начисляемых в конце периода по ставке сложных процентов 10% (норма=0,1) без дополнительных поступлений и выплат (выплата=0, тип=0).
• 6,11 р. = FV (0,1;5;-1;0;0) = FV (0,1;5;-1;0;0) =FV (0,1;5;-1) — будущая стоимость потока пяти периодических платежей (число_периодов=5) единичного размера, вносимых (выплата=-1) регулярно в конце периода (потоку постнумерандо соответствует тип=0, значение используется по умолчанию) при начислении 10% сложных (норма=0,1) за период между моментами внесения платежей на поступившие ранее средства.
• 6,72 р. = FV (0,1;5;-1;0;1) FV (0,1;5;-1;0;1) =FV (0,1;5;-1;;1) — будущая стоимость потока пяти периодических платежей (число_периодов=5) единичного размера (выплата=-1), поступающих в начале периода (потоку пренумерандо соответствует тип=1) при начислении за каждый период между платежами 10% сложных (норма=0,1).
• 2. Молодой человек c пятнадцатилетнего возраста в конце каждого месяца регулярно вносит по 15 долл. на сберегательный счет в банк, начисляющий на всю растущую сумму сложные проценты по номинальной ставке 15% годовых. В каком возрасте этот человек может стать миллионером?

Выразим срок (число периодических платежей) из формулы будущей стоимости аннуитета:

Рис. 3. Применение функции КПЕР=NPER для определения срока аннуитета

Найденный срок выражен в месяцах. 542/12=45 полных лет, так что сумма 15+45 дает искомый в задаче возраст 60 лет.

Какую сумму достаточно вложить на такой же срок единовременно, чтобы при той же доходности при ежемесячном начислении сложных процентов накопить 1 млн долл.

Ответ: -1190,948=PV (0,15/12;542;;1 000 000).

При какой годовой процентной ставке удастся накопить миллион к 55 годам?

Ответ: 17,3% =RATE ((55−15)*12;-15;;1 000 000)*12.

При каком размере ежемесячного платежа удастся накопить миллион к 50 годам без изменения ставки 15%?

Ответ: -68,13 долл.= PMT (0,15/12;(50−15)*12;;1 000 000).

Варьировать параметры задачи можно и неявно, подгоняя влияющие исходные данные, например, размер ежемесячного платежа, под искомую будущую стоимость 1 млн долл. (см. рис. 4).

Рис. 4. Подбор значения будущей стоимости аннуитета изменением размера платежа

Неявное уравнение, используемое всеми финансовыми калькуляторами и электронными таблицами для расчета неизвестных показателей аннуитета по известным можно обнаружить в Справочной системе Excel в разделе, посвященном функции =ПЗ. Для преодоления проблем с терминологией здесь оно приводится в обозначениях оригинала:

Таблица 3. Реакция неявного уравнения на нулевые значения финансовых параметров.

Наращение однократно вложенной суммы.	Накопление будущей суммы потоком вносимых через равные периоды времени платежей одинакового размера.
Если в условиях задачи отсутствует поток выплат, то PMT=0, и за счет нулевого первого сомножителя всё второе слагаемое равно нулю.	Если же решается аннуитетная задача, в которой известен размер платежа, а дополнительные единовременные начальные вложения отсутствуют, то в силу условия PV=0 элиминируется первое слагаемое, и остается зависящая от размера платежа формула будущей стоимости аннуитета с начислением процентов за период между платежами.
Получается балансовая модель роста сложных процентов, учитывающая направление движения средств: то, что дали в долг — положительно, а то, что будет потом возвращаться кредитору с процентами обратно, с точки зрения должника, отрицательно.	Второй сомножитель по умолчанию равен единице (случаю постнумерандо соответствует тип=0), а если оценивается аннуитет пренумерандо (тип=1), то получается процентный множитель (1+RATE), отражающий дополнительный период начисления сложных процентов за счет более раннего начала поступления потока платежей Для существования ненулевых корней этого соотношения знаки величин затрат и поступлений должны быть друг другу противоположны.

3. Инвестор выдает должнику кредит в объеме 300 тыс. руб. Возврат долга планируется в виде квартального аннуитета с выплатой 75 тыс. руб. постнумерандо (обыкновенной финансовой ренты) на протяжении 5 кварталов.

Оценим процентную ставку R за один квартал. Подставляя исходные данные в формулу текущей стоимости аннуитета, получаем следующее уравнение относительно новой переменной x = (1 + R) — процентного множителя за один квартал:

Рис. 5. Поведение заданного многочлена шестой степени от ставки R на интервале [0%; 10%]

Глядя на график этой функции, построенный на рис. 5 в зависимости от значений квартального процента R, можно предположить, что искомый ответ находится в районе 7−8% и подобрать его итеративно. Выявив графически интервал значений ставки, внутри которого находится ответ, например, [6%;11%], необходимо проверить подстановкой в условия задачи какую-нибудь внутреннюю точку, и по результатам проверки сузить область поиска, сдвинувшись левее или правее. Так постепенно с заданной точностью подбирается процент аннуитета. Встроенная функция финансовая функция RATE работает не по аналитической формуле (в общем случае ее не существует!), а обращается к процедуре итеративного подбора корней многочлена методом Ньютона3.

Рис. 6. Применение функции НОРМА=RATE для нахождения доходности аннуитета

Используя процедуру Excel Подбор параметра, подгоним к 300 тыс. руб. значение суммы строки нулевого периода в «верхнем аннуитетном треугольнике» .

Какая процентная ставка R за период доставляет эту текущую стоимость?

Повторим подбор, используя в качестве зависимой от исходного значения ставки R формулы обращение ко встроенной функции PV=ПЗ.

Рис. 7. " Верхний аннуитетный треугольник"

4. Составьте план погашения долга 1750 долл. США 24 равными ежемесячными платежами по ставке 16% годовых. Используйте при выполнении задания встроенные финансовые функции Excel.

Альтернативный план равномерного погашения кредита с теми же параметрами представлен ниже в табл. План погашения автокредита. Сумма частей платежа, погашающих долг, равна исходной сумме кредита.

Таблица 4. План погашения автомобильного кредита.

• 1 платеж: проценты 16%/12*1750=22,36 погашение 1750/24=72,92 всего 72,92+22,36=95,28
• 2 платеж: остаток долга1750−22,63=1677,08 проценты 16%/12*16 677,08=21,39 и т. д.
• 5. Покупатель ВАЗ2110 не может заплатить единовременно предложенную дилером цену 5000 долл. и выбирает наиболее привлекательные условия для приобретения автомобиля в кредит. Какую альтернативу Вы бы предпочли?
• · Аванс 2500 долл. плюс 24 платежа по 150 долл. Кредит выдается в долларах США.
• · Аванс 1560 долл. плюс 24 платежа по 5250 рублей. Валюта кредита — рубли РФ. В конце срока кредита машина продается, и ее цена (не ниже 1300 долл.) зачитывается в счет покупки новой машины.