Двухфакторный дисперсионный анализ

Для исследования влияния двух одновременно действующих факторов применяется двухфакторный дисперсионный анализ. Пусть факторы А и В имеют / и J уровней соответственно, а 2/уъ •? •, VijK_tJ! Kij наблюдений зависимой переменной У на г-м уровне фактора А и j-м уровне фактора В — это IJ независимых выборок с математическим ожиданием p, j, г = I, j = 1, …, J. Если в каждой ячейке имеется, по крайней мере, одно наблюдение, то план эксперимента называется полным, двухфакторным планом.

Для двухфакторной модели рассмотрим только случай постоянных уровней факторов.

1. Kij = К > 1 — равные наблюдения в ячейках. Математическая модель двухфакторного дисперсионного анализа, называемая моделью эффектов уровней, имеет вид:

где tijk ~ iV (0,a²) и независимы, г = 1, j = 1,.

к = 1, …, К; [л — общее среднее; а, — эффект г-ro уровня фактора А; рj — эффект j-ro уровня фактора В; Yij = Pij — оц — Pj+p — эффект взаимодействия г-то уровня фактора А с j-м уровнем фактора В, т. е. эффект совместного неаддитивного вклада факторов А и В в изменчивость У, когда влияние фактора А на переменную У зависит от того, на каком уровне находится фактор В.

МНК-оценки неизвестных параметров р, а,;, р^, y_tJ при дополнительных ограничениях

которые обеспечивают единственность оценок, находятся по формулам.

В этих формулах, как и ранее, точкой обозначено усреднение по соответствующему индексу.

Для определения влияния факторов и их взаимодействия на результаты эксперимента проверяются следующие гипотезы:

• • Но: уп = Y12 = … = у и = 0 о том, что влияние взаимодействия уровней факторов А и В отсутствует при альтернативе, что не все уу = 0;
• • Но: cti = 012 = ?.. = а/ = 0 о том, что фактор А не влияет при альтернативе, что не все а, = 0;
• • Но: Pi = рг — • • • = pj = 0 о том, что фактор В не влияет при альтернативе, что не все р_; = 0.

Критерии для проверки этих гипотез строятся на основе следующего тождества — разложения полной суммы квадратов на четыре компоненты (четыре источника дисперсии):

Слагаемое SSa характеризует степень разброса наблюдений между уровнями фактора Л, SSb — между уровнями фактора В. Компонента SSab обусловлена влиянием взаимодействия уровней факторов Ан В. Слагаемое SSr характеризует степень разброса наблюдений внутри ячеек и является следствием влияния случайных причин и неучтенных факторов. Результаты анализа заносятся в таблицу двухфакторного дисперсионного анализа (табл. 3.6).

Можно показать, что если верны нулевые гипотезы, то справедливы следующие утверждения:

• • суммы квадратов SSa, SSb, SSab, SSb независимы и распределены как o²X/_u о²х5_ 1, o²xf/-i)₍j_i). °^{2Хщк-1) соответственно;}
• • каждый из средних квадратов МSа, MS#, MSab> AISr (определены в табл. 3.6) является несмещенной оценкой о²;
• • статистика Fab = MSab/MSr имеет Fр ас п ре дел е н и е с vав = (/ — 1)(J — 1) и vr = IJ (K — 1) степенями свободы;

Таблица 3.6.

Двухфакторный дисперсионный анализ.