Уравнения движения для сплошной среды

Рассмотрим некоторый элемент сплошной среды объемом V_t ограниченный замкнутой поверхностью S. Пусть р (г, /) — плотность,.

v (r,/) — поле скоростей. Частицы среды, оказавшиеся внутри поверхности, будем рассматривать как механическую систему. Импульс этой системы.

Согласно (3.3) и (5.27), имеем:

Здесь / — внешняя сила, действующая на единицу объема (гравитационная или электромагнитная).

Используя формулу (5.18), перепишем равенство (5.29) в виде.

Здесь v ® v — тензорное произведение векторов:

Преобразуя с помощью теоремы Гаусса поверхностные интегралы в интегралы по объему, получим.

Подынтегральное выражение в правой части равенства представляет плотность силы (сила, действующая на единицу объема). Из произвольности области интегрирования V следует, что подынтегральные функции слева и справа равны:

Это и есть уравнение движения для сплошной среды.

Обратите внимание. Динамика частицы и твердого тела описывалась обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка. Динамика сплошной среды приводит к уравнениям в частных производных, что с математической точки зрения гораздо неприятнее.

В декартовых компонентах уравнение (5.31) примет вил.

где мы обозначили , и по повторяющимся индексам предполагается суммирование.