Овал Кассини.
Свойства замечательных кривых
Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — «птероида» (от греч. рфеспн— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году. Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a. В прямоугольной… Читать ещё >
Овал Кассини. Свойства замечательных кривых (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a.
Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.
Кривая была придумана астрономом и инженером Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс[1].
Свойства:
Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба.
- · Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
- · Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса c с центром в середине отрезка между фокусами.
Строфоида
Строфоида (от греч. уфспцЮ — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка.
В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.
В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида. В косоугольной системе координат строится косая строфоида .
Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.
В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.
История:
Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — «птероида» (от греч. рфеспн— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.
Нахождение касательной:
В точке производная, то есть в точке существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен.
Вывод Тангенс угла наклона касательной равен значению первой производной функции. Перепишем уравнение строфоиды (прямой) в следующем виде:
где.
Дифференцируем данное уравнение:
Отсюда:
Радиус кривизны:
в точке определяется так:
Площадь петли строфоиды и площадь между строфоидой и асимптотой:
Объём тела вращения: