Итерационные методы. 
Обратная матрица

• · Методы Шульца
• · Оценка погрешности
• · Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору, обеспечивающие выполнение условия (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и, то можно взять, где; если же A — произвольная невырожденная матрица и, то полагают, где также; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что, положить). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что будет малой (возможно, даже окажется), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Примеры.

Обращение матрицы 2×2 возможно только при условии, что .

Задание. Матричным способом решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) {x+2· y+3·z=04·x+(-y)+23·z=53·x+y+2·z=6.

Решение:

Находим обратную к (1234−123 312). Вычисляем определитель матрица обратный линейный алгебраический.

|1234−123 312| = 1 · (-1) · 2 + 2 · 23 · 3 + 4 · 1 · 3 — 3 · (-1) · 3 — 2 · 4 · 2 — 23 · 1 · 1 = (-2) + 138 + 12 — (-9) — 16 — 23 = 118.

Вычисляем миноры Mij и алгебраические дополнения Aij всех элементов таблицы.

|-12 312| = -1 · 2 — 23 · 1 = -2 — 23 = -25.

M11=-25, A11=-25,.

|2312| = 2 · 2 — 3 · 1 = 4 — 3 = 1.

M21=1, A21=-1,.

|23−123| = 2 · 23 — 3 · (-1) = 46 — (-3) = 49.

M31=49, A31=49,.

|42 332| = 4 · 2 — 23 · 3 = 8 — 69 = -61.

M12=-61, A12=61,.

|1332| = 1 · 2 — 3 · 3 = 2 — 9 = -7.

M22=-7, A22=-7,.

|13 423| = 1 · 23 — 3 · 4 = 23 — 12 = 11.

M32=11, A32=-11,.

|4−131| = 4 · 1 — (-1) · 3 = 4 — (-3) = 7.

M13=7, A13=7,.

|1231| = 1 · 1 — 2 · 3 = 1 — 6 = -5.

M23=-5, A23=5,.

|124−1| = 1 · (-1) — 2 · 4 = -1 — 8 = -9.

M33=-9, A33=-9,.

обратная матрица равна 1118(-25−14 961−7-1175−9).

Умножаем присоединенную матрицу на столбец свободных коэффициентов (-25−14 961−7-1175−9) · (056) = (289−101−29).

В ходе вычислений были выполнены следующие действия Умножаем 1 строку на 1 столбец (-25) · 0 + (-1) · 5 + 49 · 6 = 289Умножаем 3 строку на 1 столбец 7 · 0 + 5 · 5 + (-9) · 6 = -29.

Делим произведение на определитель основной матрицы системы и записываем ответ.

Ответ: (289 118;-101 118;-29 118).