Статистический характер радиоактивного распада

Как отмечалось выше, закон уменьшения числа радиоактивных ядер выполняется статистически, г. е. гем точнее, чем больше их количество. Отдельные же распады происходят совершенно случайно: предсказать, в какой момент времени распадется то или другое ядро, невозможно. Таким образом, количество распадов в единицу времени представляет собой случайную величину. В данном разделе мы найдем вид распределения этой случайной величины и установим, насколько велики могут быть отклонения скорости распада от среднего значения.

Рассмотрим распад в ансамбле из No радиоактивных ядер в течение времени Л Ядра ансамбля можно разбить на две группы. В первую войдут те ядра, которые распадутся за время /, во вторую — те, которые не распадутся за это время. Вероятность распада одного ядра р = 1 — q. Тогда вероятность такого сложного события, когда по истечении времени t распадутся п ядер из N₀, будет равна где р" - вероятность распада п ядер первой группы; (1 — р)‘⁰ «- вероятность того, что ;V₀ — п ядер второй группы при этом не распадутся.

— число способов выбрать п ядер из общего числа No. Зависимость Щп) вероятности случайного события от количественной характеристики п в полученном нами виде носит название биномиального распределения дискретной случайной величины, поскольку может быть представлена как один из членов разложения бинома Ньютона:

(из последнего равенства видно, что сумма вероятностей всех возможных событий равна единице). Можно показать (см. ПРИЛОЖЕНИЕ Г), что для бино;

миального распределения среднее значение¹

Реальное количество распадов, являясь случайной величиной, всегда более или менее отличается от среднего. Для оценки разброса значений случайной величины используется дисперсия Д определяемая как средний квадрат отклонения от среднего значения:

Для биномиального распределения

Закон биномиального распределения можно упростить, если выполняются следующие условия: п «No и р «1, т. е. если начальное количество ядер велико, а распадаются они нс слишком часто. В этом случае биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона.

В отличие от биномиального распределения (5.8), характеризующегося двумя параметрами (No и /?), оно содержит только один параметр п= N₀p. Эксперименты по определению истинного числа распадов в единицу времени дают результаты, хорошо согласующиеся с таким распределением. Дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона,.

D = n. (5.13).

Данный результат следует непосредственно из (5.11), если р « 1.

— 2.

Распределение Пуассона определено для целочисленных значений При этом через соответствующие точки можно провести плавную кривую. Для малых значений п получается несимметричная кривая. По мере увеличения п, а значит, и числа точек, кривая становится все более симметричной, причем се максимум приходится на (рис. 5.2). Таким образом, при л «I число распадов можно рассматривать как непрерывную случайную величину, распределенную нормально, или по закону Гаусса:

Дисперсия нормального распределения (5.14) связана со средним значением гак же, как и в распределении Пуассона: D = п .

Рис. 5.2. Биномиальное распределение (светлые кружки), распределение Пуассона (темные кружки) и нормальное распределение (сплошная кривая) случайной величины; н=20 (М>=170).

Вывод среднего и дисперсии биномиального распределения, а также связь между тремя распределениями даны в ПРИЛОЖЕНИИ Г.

Для определения доверительного интервала нормально распределенной величины п используют следующее выражение:

где кр — квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р. На практике при обработке экспериментальных данных часто пользуются стандартным отклонением А я, для которого А> = 1, а Р «0,683 (т.с. среднее число распадов с вероятностью 68,3% отличается от экспериментально полученного не более чем на ± VZ)). Величина.

представляет собой относительную ошибку измерения. Если в эксперименте зарегистрировано достаточно большое число распадов, то для определения ошибки вместо неизвестного среднего можно использовать само значение п. Так как D = п, относительная ошибка.

Отсюда следует, что дзя достижения заданного уровня точности измерения необходимо зарегистрировать /Г распадов (например, для измерения с 1%-ной ошибкой п должно быть равно 10⁴).