Математическое описание случайных процессов и устройств их обработки

В информационных системах некоторые из источников сигналов способны вырабатывать большое число (часто несчетное множество) возможных случайных функций времени (процессов). Для удобства их анализа полезно ввести вероятностный закон, описывающий случайные появления каждого элемента такого множества. Множество случайных функций (вместе с законом вероятности) представляет множество сигналов, вырабатываемых источником. Мы будем говорить, что такой источник вырабатывает сигнал х (0, называемый случайным или стохастическим процессом. Описание случайного сигнального процесса должно быть отличным от описания точно известных, детерминированных сигналов. Однако некоторые из понятий, связанные с пространством сигналов (расстояние, норма, скалярное произведение, ортогональность), полезны и для описания случайных процессов.

В наиболее интересных задачах два способа описания (детерминированный и случайный) встречаются одновременно и жестко взаимосвязаны. В этом мы убедимся, рассматривая проблему фильтрации в параграфе 5.3, а также задачу нахождения оптимальных базисных функций для случайных сигналов, рассматриваемую далее в этой главе.

Описание случайных процессов

Более точно определим случайный процесс как совокупность случайных значений, каждое из которых относится к своему моменту времени:

Если Т — счетное множество, мы говорим, что х — процесс с дискретным временем, если Т — вещественный интервал, то х — процесс с непрерывным временем.

Заметим, что совокупность значений x (t) не следует трактовать как скалярную величину. Для большинства практических приложений случайные значения x (t) можно рассматривать как вектор в гильбертовом пространстве. При этом параметр t просто отмечает точки в этом пространстве. Обычно, конструируя некоторую систему, мы интересуемся ее характеристиками для всего множества сигналов, а не для отдельных реализаций, выбранных из этого множества. Можно выявить «усредненные» характеристики системы, вычислив соответствующие статистические средние значения по отношению к исходным случайным переменным. Эти средние значения называются математическими ожиданиями.

Таким образом, в рассматриваемых задачах поведение случайного процесса во времени характеризуется поведением математических ожиданий как детерминированных функций времени, но не формой конкретного сигнала. В этом состоит существенное различие между описанием детерминированных и случайных сигналов. Игнорирование такого различия нередко приводит к ошибкам.

Мы предполагаем, что читатель знаком с основами теории вероятностей и случайных процессов. Следующий параграф дает лишь сводку основных положений, которые будут использоваться в дальнейшем.