Изображение голоморфной функции в виде бесконечного произведения

Пусть мы имеем бесконечное произведение

причём все и_п (г) суть функции ^!), голоморфные в некоторой области G. Предположим, что при любом п имеет место неравенство:

какова бы ни была точка z области G, и пусть числовой' ряд.

сходится. В этом случае произведение (11) в силу предыдущего пункта сходится во всякой точке z области G и изображает, следовательно, некоторую функцию / (z) комплексного переменного г, не равную нулю ни в какой точке области G. Мы докажем, что f (z) есть функция, голоморфная в области G.

Действительно,.

нам достаточно доказать на основании первой теоремы Вейерштрассэ (гл. V, § 1, п. 1), что последовательность функций f_n(z), голоморфных в области G, сходится равномерно в этой области к функции f (z). Введя обозначения:

(последнее произведение сходится по условию в силу п. 2), оценим модуль разности f (z)—/_n(z):

так как.

С другой стороны, справедливо неравенство:

при любом п, какова бы ни была точка z области G. Действительно, откуда следует:

Последнее неравенство справедливо при любом k переходя к пределу при k—*• оо, получаем неравенство (15).

^J) Все множители произведения (11) отличны от нуля для любой точки г области G.

Вследствие неравенства (15) неравенство (14) примет вид:

какова бы ни была точка z области G. Последнее неравенство доказывает равномерную сходимость в области G последовательности голоморфных функций f_n(z) к функции /(z), что и нужно.