Характеризация комплексных, двойных и дуальных чисел как алгебр над нолем действительных чисел

Обратим внимание на то, что множество действительных чисел можно рассматривать как 1-мерное векторное пространство над полем R, множество комплексных чисел, а также множества двойных и дуальных чисел — как 2-мерные векторные пространства над полем R, а множество кватернионов — как 4-мерное векторное пространство над полем R. Но, кроме того, двойные и дуальные числа образуют кольца, R и С являются полями, а множество кватернионов является телом. Пытаясь охватить эти частные примеры некоторым общим понятием, приходим к следующему определению.

7.2.5. Определение. Алгеброй над полем Р называется кольцо (А, +, ?), аддитивная группа которого (А, +) является л-мерным векторным пространством над полем Р, причем для любого аеР и любых а, реА выполняются равенства (aa)fi = а{аР) = а (ар). При этом говорят кратко: «А есть алгебра над полем Р». Рангом алгебры А над полем Р называется размерность п векторного пространствам. Обозначается rangA = n. Единица е кольца (А, +,•> называется единицей алгебры.

Очевидно, R есть алгебра над полем R ранга 1, комплексные, двойные и дуальные числа являются алгебрами над полем R ранга 2, а алгебра кватернионов над полем R имеет ранг 4.

7.2.6. Лемма. Алгебра, А с единицей? над полем Р содержит подполе Н = {ас а € Р}, изоморфное полю Р. Отождествляя соответствующие при этом изоморфизме элементы, можно считать, что поле (Р, +, •) содержится в кольце (А, +, •) и всякий элемент из Р перестановочен со всяким элементом из, А .

Доказательство. Легко видеть, что множество Н = {as, а е Р) является подполем, а отображение Н, при котором (р{а) = ас для любого яеЛ является, в силу 7.2.2, взаимно однозначным отображением Р на Н. Кроме того, как легко проверить, (р сохраняет операции сложения и умножения. Таким образом, (р является изоморфизмом Р на Н. Отождествим соответствующие при (р элементы а и as. Тогда для любого элемента а&А имеем а + а = а? + а, а-а = ае-а = а{е а) = аа и а• а = а ае = а (а е) = аа. Таким образом, можно считать, что поле (/>,+,-) содержится в кольце (А, +, •>, причем всякий элемент из Р перестановочен со всяким элементом из А. ?

7.2.7. Теорема. Алгебра с единицей, отличной от нуля, над полам действительных чисел ранга 2 есть либо алгебра комплексных чисел, либо алгебра дуальных чисел, либо алгебра двойных чисел.

Доказательство. Пусть А — алгебра с единицей е (отличной от нуля) ранга 2 над полем R. Тогда она имеет базис {e₉j} и всякий элемент из А представим в виде ае + bj при некоторых a^bsR. Отождествление элементов а и ае для любого aeR приводит к равенству as+bj = a+bj. Пользуясь перестановочностью действительных чисел с элементами из А, получаем перестановочность любых элементов из А. Теперь утверждение теоремы вытекает из 6.3.3. ?