Построение звезды напряжений

Построить звезду напряжений. Графически найти главные нормальные и главные касательные напряжения.

Звезду напряжений строим в координатах уn (нормальные напряжения), фn (касательные напряжения) (рис. 6). Центр звезды — точка М находится на оси Оуn. Координата центра звезды численно равна среднему напряжению у (см. формулу 29). С центром в точке М проводим две окружности. Радиус большей окружности равен. Радиус меньшей окружности равен интенсивности касательных напряжений Т (см. формулу 26).

Из точки М проводим три луча, которые собственно образуют звезду. Углы между лучами равны по 120о. угол между первым лучом МА и осью Оуn равен углу вида напряженного состояния шу.

С учетом выбранного масштаба абсциссы точек пересечения лучей с большой окружностью равны главным нормальным напряжениям у1, у2, у3. Ординаты точек пересечения лучей с малой окружностью равны главным касательным напряжениям ф12, ф23, ф31.

у1=12,610, у2=1,717, у3=-6,327.

ф12=5,447, ф23=4,022, ф31=-9,469.

Рисунок 6. Звезда напряжений.

Определение положения главных осей тензора напряжений

Найти направляющие косинусы главных осей тензора напряжений в старой системе координат. Найти углы между главными осями и осями x, y, z.

Направляющие косинусы главных осей тензора напряжений з1, з2, з3 в старой системе координат x, y, z обозначим так:

(31).

Эти направляющие косинусы найдем, решая три системы уравнений. Например, направляющие косинусы l1, m1, n1 главной оси найдем, решая систему уравнений:

При условии:

(33).

Из первых двух уравнений (32) выражаем l1 и m1 через n1 например по формулам Крамера:

Полученные выражения l1 и m1 через n1 подставляем в уравнение (33). Получаем квадратное уравнение относительно n1. Решая его, находим n1. При этом принимаем. Затем находим l1 и m1.

Аналогично находим направляющие косинусы l2, m2, n2 главной оси з2.

Направляющие косинусы l3, m3, n3 главной оси з3 находим из условия, что направляющий вектор главной оси з3 есть векторное произведение направляющих векторов главных осей з1 и з2, т. е.:

(35).

Так как главные оси з1, з2, з3 образуют правую прямоугольную декартову систему координат. Запишем формулу (35) через направляющие косинусы главных осей:

(36).

откуда найдем:

. (37).

Угол между главными осями з1, з2, з3 и осями x, y, z обозначим и вычислим так:

(38).

При этом нужно иметь в виду, что arccos (-x)=р-arccos x.