Философия математики: платонизм, фикционализм, натурализм, реализм и квазиэмпиризм

Математический платонизм

Оперируя математическими теориями, ученый непременно вводит представление о математических объектах, и в результате инициируется вопрос об их природе. В этой связи математики часто вспоминают Платона. Как известно, идея истолковывалась им как общее некоторого класса объектов, способное быть автономным от них. С этой точки зрения существует, например, идея треугольника, не совпадающая с чувственно воспринимаемыми, сделанными из того или иного материала треугольными предметами. Мир математических объектов — это мир математических идей, существующих независимо от людей. Такое представление впервые развил в 1884 г. Г. Фреге. Затем оно приобрело многих сторонников, в частности знаменитого К. Гёделя.

Г. Фреге считал, что математик открывает истины. Так, «мысль, высказанная в теореме Пифагора, очевидно, вневременна, вечна, неизменна»^[1]. Истины реальны, но их реальность совсем другого рода, нежели реальность физических вещей или феноменов сознания. То же самое можно сказать и о математических объектах. Рассуждая о них, мы вводим понятия, но не произвольные, а истинные. Число, например 2, будет оставаться таковым независимо от эволюции человеческих существ. Подчеркивая своеобразие математических объектов, не познаваемых непосредственно чувственным образом и не обладающих, подобно физическим объектам, пространственно-временными свойствами, их как раз и уподобляют платоновским идеям, истинным навсегда.

На наш взгляд, признавая своеобразие математических объектов, тем не менее, со сторонниками математического платонизма не следует соглашаться. Математические объекты являются морфами, фиксирующими конгруэнтность различных классов объектов. Эта конгруэнтность является отношением. Например, число 3 есть отношение двух равномощных множеств (А и В), каждое из которых состоит из трех предметов. Дело обстоит не так, что мы вначале абстрагируемся от признаков Л и В, а затем подсчитываем число предметов. Сопоставление двух множеств приводит к числу 3, после чего оно приписывается каждому их них. Число 3 является не свойством каждого из множеств по отдельности, а их отношением изоморфизма. Операция абстрагирования не нужна для установления отношения изоморфизма между, А и В.

Существенно, что это отношение не существует без тех объектов нематематической природы, которым оно присуще. Именно поэтому математические объекты не существуют сами по себе. Одно это обстоятельство отвергает всякий математический платонизм, который обособляет указанные объекты. Указанное обособление и является сердцевиной математического платонизма. Его отрицание позволяет понять причастность математических объектов к миру феноменов сознания и к тем объектам, которые обладают пространственно-временными свойствами. Математическая реальность — это концепты, которыми оперируют люди, выявляя, а затем и целесообразно используя особый тип эквивалентности разнообразных, как математических, так и нематематических, концептов. Добавим к этому, что математические теории, подобно всем другим концепциям, постоянно совершенствуются. Поэтому нет никаких оснований утверждать, что математика имеет дело с вечными истинами. Любое математическое положение, рассмотренное в контексте теории, в той или иной степени всегда проблематично.

• [1] Фреге Г. Мысль: логическое исследование // Философия, логика, язык. М.: Прогресс, 1987. С. 44.