Некоторые задачи физики

Статика. Практически все задачи статики сводятся к определению сил, действующих на неподвижное или движущееся прямолинейно и равномерно тело. При этом решаются уравнения равенства нулю суммы проекций всех сил F₁, F₂, F₃, …, F_N на оси координат или строится замкнутый многоугольник сил. Для построения многоугольника «N» сил необходимо выбрать некоторую точку (например, начало координат), провести из нее вектор первой силы, из конца первого вектора провести вектор второй силы и т. д. Если многоугольник будет замкнутый (конец «N» -го вектора совпадает с началом первого), то тело под действием данных сил будет находиться в равновесии. Рассмотрим задачу графического построения многоугольника сил в плоском (двумерном) случае. Если силы, действующие на тело заданы проекциями на оси координат Fx₁, Fx₂,. ., Fx_N, и Fy₁, Fy₂,. ., Fy_N, то конец первого вектора имеет координаты: x₁=Fx₁, y₁=Fy₁, конец второго вектора имеет координаты: x₂=x₁+Fx₂, y₂=y₁+Fy₂ и т. д. Условие равновесия тела: xN= Fx_R = Fx_i = 0, yN= Fx_R = Fy_i = 0 (здесь полагается, что первый вектор проводится из начала координат). Если условие равновесия не соблюдается, то проекции уравновешивающей силы определяются по формулам: Fx_R =xN, Fy_R=yN. Приведем процедуру рисования вектора, заданного координатами точек начала «1» и конца «2» .

Procedure Vector_G (x1, y1, x2, y2: double);

Var x3, y3, L, Lc, sa, ca, s3, c3: double;

Begin.

L:= sqrt (sqr (x1-x2) + sqr (y1-y2)); { длина вектора }.

Lc:= L/5. ; { длина стрелок }.

ca:=(x2-x1)/L; sa:=(y2-y1)/L; c3:=cos (Pi/10); 3:=sin (Pi/10);

{ Pi/10 — угол наклона стрелок к линии вектора}.

Line_G (x1, y1, x2, y2);

x3:= x2 — Lc*(ca*c3-sa*s3); {основная линия}.

y3:= y2 — Lc*(sa*c3+ca*s3); Line_G (x2, y2, x3, y3);

x3:= x2 — Lc*(ca*c3+sa*s3); { линия стрелки}.

y3:= y2 — Lc*(sa*c3-ca*s3); Line_G (x2, y2, x3, y3).

End; { линия стрелки}.

Кинематика. В кинематике изучается движение тела (точки) без анализа причин (сил), вызывающих это движение. Основной задачей является построение траектории точки, а также определение скорости и ускорения точки в любой момент движения. Траекторией точки называется линия, описываемая точкой, движущейся в пространстве. Движение точки определяется уравнением (законом) движения, в котором устанавливается зависимость положения точки в пространстве от времени. В параметрической форме траектория точки описывается зависимостями: X=X (t), Y=Y (t).

Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения точки.

Проекции скорости на оси координат равны: Vx = dX/dt; Vy = dY/dt;

Проекции ускорения на оси координат равны: Ax = dVx/dt; Ay = dVy/dt;

Рассмотрим уравнения, описывающие движение точки в некоторых случаях.

Для точки, начинающей движение в некоторый момент времени «t₀» (полагается t₀=0) под углом «fi» к горизонту со скоростью «V₀» уравнения движения без учета сопротивления воздуха имеют вид:

X = V0*t*cos (fi); Y = V0*t*sin (fi) — 0. 5*g*t2;

Для точки, начинающей движение под углом «fi» к горизонту со скоростью «V0» траектория движения с учетом сопротивления воздуха пропорционального скорости точки имеет вид:

X = V0*cos (fi)*Fc (t); Y = (V0*sin (fi) + g/kc)*Fc (t) — g*t/kc;

где Fc (t) = (1-e^(-kc*t))/kc; kc — коэффициент сопротивления.

g = 9. 81, м/с — ускорение свободного падения.

Для точки, движущейся над горизонтальной поверхностью расчетную область можно ограничить: X_max=V₀² /g; Y_max=0.5*X_max. Время движения tp=2*V₀*sin (fi)/g.

Динамика. В задачах динамики рассматривается движение тел под действием сил. Для определения характеристик движения (траектории, скорости и т. д.) составляются дифференциальные уравнения движения, которые затем интегрируются, а также используются законы сохранения энергии или импульса.

Рассмотрим задачу столкновения двух шаров, движущихся со скоростью V₁ и V₂. Если центры масс соударяющихся тел находятся на общей нормали, проведенной в точку контакта, то удар называется центральным. Например, удар при столкновении двух шаров. При центральном ударе двух тел с идеально гладкой поверхностью справедлива гипотеза Ньютона: проекция скорости на нормаль к поверхности в точке контакта уменьшается после удара в «k» раз. Коэффициент восстановления «k» характеризует потери энергии на тепло при ударе и зависит от материала тел. Используя также закон сохранения импульса, получаем формулу расчета векторов скорости шаров W₁ и W₂ после удара:

W₁ = V₁ + M₂*(1+k)/(M₁+M₂)*(|V₁|*cos (fi₁) + |V₂|*cos (fi₂))*n₁;

W₂ = V₂ + M₁*(1+k)/(M₁+M₂)*(|V₁|*cos (fi₁) + |V₂|*cos (fi₂))*n₂;

Здесь fi₁ и fi₂ — углы между линией общей нормали и векторами скоростей V₁ и V₂ в момент удара.

n₁ и n₂ — векторы единичных нормалей к поверхности шаров в точке контакта.

|V₁| и |V₂| - модули векторов скоростей V₁ и V₂.