Расчет сжатых стержней на устойчивость

Рассмотрим диаграмму зависимости критического напряжения от гибкости стержня (рис. 12.5). При большой гибкости (участок 1 на диаграмме) (для сталей Х> 100) критическое напряжение меньше предела пропорциональности (о_кр < а_пц) и определяется по формуле Эйлера (12.6). Для стальных стержней круглого сечения для этого участка отношение длины стержня к диаметру L/d> 25. Условие устойчивости стержня на этом участке имеет вид.

где п_уст — коэффициент запаса устойчивости.

При средней гибкости (участок 2 на диаграмме) (для сталей 60 < X < 100 критическое напряжение лежит в диапазоне о_пц < о_кр < о_т и определяется по эмпирической формуле Ясинского. Для круглых стальных стержней на этом участке 15 < L/d< 25. Условие устойчивости стержня на этом участке имеет вид.

При малой гибкости (участок 3 на диаграмме, X < 60) критическое напряжение уже превышает предел текучести и соответственно наибольшую опасность представляет появление недопустимых пластических деформаций, а не потеря устойчивости. В этой области расчет ведется не по критическому напряжению, а по пределу текучести. Для этого участка диаграммы отношение L/d < 15, а условие устойчивости стержня имеет вид.

Рис. 12.5. Диаграмма зависимости критического напряжения от гибкости стержня.

При расчете стержня на устойчивость прежде всего надо определить его гибкость, чтобы выбрать одно из трех условий устойчивости. Существует объединенное условие прочности и устойчивости:

Здесь ф — коэффициент снижения допускаемых напряжений, определяемый по справочникам в зависимости от материала и гибкости стержня X.

Примечания к расчету на устойчивость

• 1. Нерационально использовать длинные тонкие стержни с гибкостью X > 200, так как при этом ф^О и допускаемая нагрузка на стержень очень мала.
• 2. Нерационально использовать для сжатых стержней высокопрочные стали, так как модуль Юнга Е, входящий в формулу критической силы, почти не зависит от прочности стали.
• 3. Рационально использовать составные сечения, у которых осевые моменты инерции равны /_тах = J_min. Для увеличения критической силы при той же площади сечения следует увеличить момент инерции сечения. С этой целью надо раздвинуть элементы сечения.
• 4. Сечения открытого профиля плохо работают на устойчивость. Если в трубе сделать продольный разрез, то критическая сила при сжатии такой трубы уменьшится раз в 100.

Если размеры стержня известны и требуется определить критическую силу, то расчет весьма прост. Надо определить гибкость стержня, по гибкости выбрать нужную формулу (Эйлера или Ясинского) и по ней рассчитать критическую силу или по гибкости найти коэффициент снижения допускаемых напряжений и по нему определить допускаемую силу.

Если размеры сечения неизвестны, то расчет значительно сложнее. Не зная размеров сечения, невозможно найти гибкость стержня. В этом случае расчет ведут итерационным методом. В первом приближении задаются коэффициентом снижения допускаемого напряжения (р. Поскольку 0 < ф <1, лучше брать для первого приближения Ф, ~ 0,5. Зная коэффициент ф, из условия прочности определяют.

г

площадь поперечного сечения стержня А = —р-—^ и размеры сечения. ^il^ycrj.

Далее определяют момент инерции /_min и радиус инерции сече- ^иия 'min = _n/Л и подсчитывают гибкость стержня Х = [iL/i_min.

По гибкости из справочника определяют коэффициент снижения допускаемого напряжения ф₂ и сравнивают с ф_1? принятым в начале приближения.

Для второго приближения можно задаться коэффициентом Ф! ⁼Ф2' ^{но в} этом случае число итераций, необходимых для получения достоверного результата довольно велико. Расчет сходится значительно быстрее, если для второго приближения взять Ф, = (Ф| + ф₂)/2. Для достижения погрешности 1% достаточно трех-четырех итераций.