Множество R всех вещественных чисел и его полнота

В предыдущем пункте были рассмотрены некоторые множества — сечения. На множестве всех сечений были введены отношения порядка и арифметические операции. Выяснилось, что арифметика сечений совпадает с арифметикой рациональных чисел. Так же внимание было уделено тому, что упорядоченное поле всех рациональных чисел изоморфно упорядоченному полю всех рациональных сечений. Этот изоморфизм установлен в теореме (2.19). Это позволяет отождествить любое рациональное сечение с порождающим его рациональным числом. Да, — это не то же самое, что и, но их свойства, которые мы изучаем, одинаковы в обоих полях. Поэтому можно дать следующее определение.

Определение (1.24). Вещественными, или действительными, числами будем называть сечения. Рациональные сечения будем называть рациональными числами, а все остальные сечения — иррациональными числами. [1].

Таким образом, все свойства сечений Дедекина — это свойства вещественных чисел. Множество всех действительных чисел будем обозначать символом. Важнейшим свойством действительных чисел является свойство непрерывности. Одну из формулировок, которые устанавливают это свойство, приведём ниже.

Теорема (1.22) (Дедекинда). Пусть — такие множества вещественных чисел, что.

1).

• 2)
• 3)

Тогда.

[1].

Теперь рассмотрим вопрос о представлении вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. На множестве всех бесконечных десятичных дробей можно естественным образом ввести арифметические операции и порядок. Таким способом множество всех десятичных дробей можно превратить в линейно упорядоченное поле.

Рациональные числа изображаются бесконечными периодическими дробями, а иррациональные — бесконечными непериодическими. Этот вывод можно сделать благодаря теореме, которая говорит, что каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби. Вещественные же числа определяются как бесконечные десятичные дроби. Так можно утверждать благодаря следующей теореме.

Теорема (1.23). Если исключить из рассмотрения все периодические дроби, периодом которых является цифра 9, то оказывается, что упорядоченное поле вех остальных десятичных дробей изоморфно упорядоченному полю всех вещественных чисел. [1].

Теорема (1.24). Существует биективное и сохраняющее порядок соответствие между множеством всех вещественных чисел и множеством всех точек числовой оси. [1].

Вещественное число, которое согласно предыдущей теореме соответствует данной точке, лежащей на числовой оси, называется координатой точки. Эта же теорема показывает, что вещественных чисел достаточно для того, чтобы каждой точке числовой оси приписать координату. Поэтому множество можно отожествить с множеством всех точек числовой оси.