Система массового обслуживания типа (M/M/1): (GD/N/)

Разница между моделью типа (M/M/1):(GD/N/) и моделью типа (M/M/1):(GD//) заключается только в том, что требований, допускаемых в блок ожидания обслуживающей системы, равняется N. Это означает, что при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не может присоединяться к очереди в блоке ожидания. В результате эффективная частота поступлений требований ЭФФ для системы указанного типа становятся меньше частоты, с которой заявки на обслуживание генерируются соответствующим источником.

Дифференциально-разностные уравнения как для n=0, так и 0.

Таким образом, уравнения для стационарного процесса в случае модели (M/M/1):(GD/N/) записываются следующим образом:

Решение приведенной выше системы уравнений для модели (M/M/1):(GD/N/) имеет вид.

Следует отметить, что значение параметра не обязательно должно быть меньше единицы. Это легко увидеть и интуитивно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему требований контролируется путем введения ограничения на длину очереди, а не соотношением между интенсивностями входного и выходного потоков, т. е. отношением .

С учетом приведенной выше формулы для рn выражение для среднего числа находящихся в системе требований принимает следующий вид:

Выражения для Lq, Ws и Wq можно получить из формулы для Ls, если предварительно вывести формулу для ЭФФ. Поскольку вероятность того, что требование не имеет возможности присоединится к очереди, равняется рN, доля требований, которым разрешено войти в блок ожидания, равняется Р{n.

Таким образом, нетрудно еще раз убедиться, что.

Пример. Ситуация предыдущего примера. Пусть дисплейный класс располагает пятью ЭВМ для обслуживания студентов. Если все ЭВМ заняты, дополнительно прибывающие в класс студенты вынуждены искать другой класс.

Не исключено, что инженеров класса прежде всего интересует количество студентов, которые покидают класс из-за ограниченности мест. Практически это эквивалентно нахождению разности между и ЭФФФ:

В рассматриваемом примере N=5+1=6, =5/6, а.

Отсюда следует, что частота возникновения ситуации, когда прибывающий в класс студент не имеет возможности присоединиться к очереди, равняется 5*0,0774=0,387 студента в час; при 8-часовом рабочем дне это эквивалентно тому, что дисплейный класс в среднем за день будет терять три студента.

Пусть требуется определить среднее время пребывания студента в дисплейном классе. Сначала вычислим LS, что позволит затем найти WS: С учетом того, что ЭФФФ=(1−6)=5(1−0,0774)=4,613, получаем.

Таким образом, при введение ограничения на количество мест для работы (N=6) среднее время ожидания по сравнению со случаем, когда в дисплейный класс могли попасть все нуждающиеся студенты, сократилось примерно на полчаса. Это было достигнуто за счет «потери» в среднем трех студентов в день из-за недостаточности мест для работы прибывших студентов.

Найдем вероятность того, что прибывший в дисплейный класс студент будет сразу же обеспечен свободным компьютером. Для этого необходимо найти вероятность того, что в системе не будет ни одного студента:

Найдем среднюю продолжительность ожидания пришедшего в дисплейный класс студента от момента прибытия до начала обслуживания, т. е. необходимо найти Wq:

При увеличении количества ЭВМ на одно количество студентов, которое теряет дисплейный класс, при =5 равно ЭФФрN=1,16 (N=6+1=7). Таким образом в течение 8-ми часового дня класс теряет только одного студента. При увеличении количества ЭВМ уже до 9 класс будет терять 0,225 студента в час или 0,1 125 студента в день (т.е. практически 0). При увеличении параметра, для того чтобы не терять студентов необходимо прямо пропорционально увеличивать количество ЭВМ.