Производные и дифференциалы высших порядков

Понятие производной п-го порядка

Производная/* (л*) функции /(л) сама является функцией аргумента jc, и, но отношению к ней также можно ставить вопрос о производной. Производная от первой производной некоторой функции у =/(*) называется второй производной или производной второго порядка этой функции. Производная от второй производной называется третьей производной или производной третьего порядка. Этот процесс можно продолжить. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков. Для их обозначения используют символы: у' у'", У^К у^(5>, …" у^(я) (для второй и третьей производных соответственно еще и у<²> и у⁽³⁾), или вместо у пишут/(*): /" (*),/'" (*)" …,/^(я)(*);

Производная //-го порядка определяется, таким образом, как производная от производной (п — 1)-го порядка: у^м = (у^(я" ‘У.

п-е производные некоторых функций

Укажем вид п-х производных для некоторых функций.

1. Степенная функция у = х^а> где х > 0. Последовательное дифференцирование этой функции даст:

Если, а = /и, где т — натуральное число, получим:

2. Показательная функция у = а^х.

Последовательное дифференцирование приводит к формулам.

В частном случае, когда а — е, получаем: (е^х)^(я) = е^х, т. е. дифференцирование любого порядка не меняет вид простой экспоненты.

3. у — sin х.

Первая производная этой функции может быть представлена в следующем виде:

Соответственно для второй производной имеем:

Таким образом, каждое дифференцирование добавляет в аргумент синуса л/2, так что в общем случае получаем:

4. у = cos л

Здесь налицо полная аналогия с предыдущей функцией, т. е.