Формула Остроградского-Гаусса, формула Стокса

Формула Остроградского-Гаусса

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностными интегралами 2-го рода по замкнутой поверхности и тройными интегралами по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Теорема 1 Пусть

• 1) — элементарная относительно оси замкнутая область, ограниченная поверхностью ;
• 2) функции, , непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области .

Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса

.

Формула Остроградского-Гаусса справедлива для любой области, которую можно разбить на конечное число элементарных областей. Также формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов 2-го рода по замкнутым поверхностям.

Для вычисления объема тела, ограниченного замкнутой поверхностью, используется формула:

.

Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностными интегралами и криволинейными интегралами.

Теорема 2 Пусть

• 1) — элементарная относительно оси поверхность, заданная уравнением, где функции, , — непрерывны в замкнутой области, проекции на ;
• 2) — контур, ограничивающий область , — его проекция на плоскость, являющаяся контуром, ограничивающим область ;
• 3) функции, , непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка на выбранной стороне поверхности .

Тогда имеет место формула Стокса

.

Следствие. Если.

,, , то.

• 1) ;
• 2) подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции, для которой:

.

Формула Стокса справедлива для любой области, которую можно разбить на конечное число элементарных областей указанного вида.

Учитывая, что.

, ,.

формулу Стокса можно записать в виде:

Данную формулу легко запомнить, используя для подынтегрального выражения определитель:

.