Брюсселятор. 
Теория вероятностей и математическая статистика. 
Математические модели

Простейшим классическим примером существования автоколебаний в системе химических реакций является тримолекулярная модель «брюсселятор», предложенная в Брюсселе И. Р. Пригожиным и Р. Лефевром (1965). Основной целью при изучении этой модели было установление качественных типов поведения, совместимых с фундаментальными законами химической и биологической кинетики. В этом смысле брюсселятор играет роль базовой модели, такую же как гармонический осциллятор в физике, или модели Вольтерра в динамике популяций. Рассмотрим свойства брюсселятора как автоколебательной системы.

Брюсселятор представляет собой следующую схему гипотетических химических реакций:

где А, В — исходные вещества; С, R — продукты; X, Y — промежуточные вещества.

Пусть конечные продукты С и R немедленно удаляются из реакционного пространства. Это означает, что обратные константы к-з = к-4 = 0. Если субстрат, А находится в избытке, A;_i =0. Предположим также, что к-2 — 0- Значения остальных констант положим равными единице. Тогда схема рассмотренных реакций (в случае точечной системы) описывается системой уравнений:

Модель (5.44) имеет одну особую точку с координатами.

Исследуем стационарное решение (5.45) системы (5.44) на устойчивость по методу Ляпунова. Введем переменные, характеризующие отклонения от особой точки:

Линеаризованная система имеет вид.

Характеристическое уравнение или

имеет корни.

Напомним, что особая точка является устойчивой, если действительные части корней характеристического уравнения отрицательны. Из выражения (5.46) видно, что при В < 1 + А² особая точка (5.45) устойчива. Если В > 1 4- А², то особая точка становится неустойчивой, и у системы (5.44) появляется устойчивый предельный цикл. Значение В = 1 + А² является бифуркационным. Если оно лишь немного превосходит бифуркационный порог, то автоколебания в системе носят квазигармонический характер. Таким образом, брюсселятор при выполнении условия.

Рис. 5.25. Фазовый портрет брюсселятора:

является автоколебательной системой. Фазовый портрет брюсселятора при разных значениях параметров изображен на рис. 5.25.

Далее будет рассмотрен «точечный» брюсселятор в качестве локального элемента системы «реакция—диффузия» (см. 6.3). Исследования брюсселятора как распределенной системы легли в основу науки о пространственно-временной самоорганизации химических и биологических систем.