Полярная система координат на плоскости

Луч, выходящий из заданной точки О, называется полярной осью, а. точку О полюсом полярной системы координат (рис. 2). Произвольная точка плоскости имеет полярные координаты, где — расстояние от А до О, а — угол между векторами (направленным отрезком) и полярной осью, отсчитываемый от последней против часовой стрелки.

Введем прямоугольную систему координат х, у, у которой положительная ось х совпадает с полярной осью (рис. 3).

Рис. 2 Рис.3

Система уравнений.

(1.1).

осуществляет преобразование полярных координат в декартовые (прямоугольные). Правые части в равенствах (1) — непрерывно дифференцируемые функции с якобианом.

. (1.2).

Уравнение, гденепрерывная на отрезке функция, определяет в полярных координатах кривую Г — геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Будем считать, что. Тогда кривая Г такова, что любой луч, выходящий из полюса О под углом к оси х, где пересекает Г в одной точке (рис.4).

Зададим в плоскости х, у область, ограниченную лучами и кривой Г. При высказанных условиях любая точка (х, у) соответствует при помощи уравнений (1) только одной паре, где. Пусть теперь на замыкании нашей области задана непрерывная функция f (x, y) от (x, y) или она может быть ограниченной на и непрерывной всюду, исключая отдельные точки и гладкие линии. Тогда имеет место равенство.

. (1.3).

Согласно формуле (2) мы заменили x, y через посредством равенства (1) и ввели в качестве множителя абсолютную величину якобиана ||=. Для области пар, соответствующей исходной области, сразу же расставлены пределы — сначала интегрируем по от 0 до, а затем по от до .

Пример 1.1.

Мы следовали формуле (3). Надо учесть, что область, определяемая в декартовых координатах неравенством, в полярных координатах определяется неравенством .

Формулу (3) можно получить из естественных соображений, не прибегая к общей формуле (2).

Плоскость x, y разбиваем на элементарные фигуры близкими концентрическими окружностями и выходящими из полюса полярной системы лучами (рис. 5). Площадь произвольной элементарной фигуры (возле точки) или, как говорят, элемент площади в полярных координатах, равна с точностью до бесконечно малых высшего порядка (заштрихованная фигура на рис. 5 может быть приближенно принята за прямоугольник со сторонами и). Поэтому, если просуммировать по этим элементам, то получим.

.

где.

.

Пример 1.2: Вычислить интеграл.

.

Переходя к полярным координатам (рис. 6), получаем.

Рис. 5 Рис.6