Усовершенствование метода ортогональной прогонки С.К. Годунова для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями

Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица коэффициентов будет иметь размерность 8×8, искомая вектор-функция будет иметь размерность 8×1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4×8.

Тогда в методе прогонки С. К. Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде:

.

или можно записать в матричном виде:

.

где векторы — это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор — это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Здесь это матрица размерности 8×4, а это соответствующий вектор размерности 4×1 из искомых констант .

Но вообще-то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К. Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов, а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:

И как раз трудность и проблема метода прогонки С. К. Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.

То есть в методе прогонки С. К. Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений векторов, чтобы можно было начать прогонку с левого края =0, то есть чтобы удовлетворялись условия на левом крае при любых значениях констант .

Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.

Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С. К. Годунова.

Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:

.

где матрица прямоугольная и горизонтальная размерности 4×8.

В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей размерности 4×8, у которой будут 4 ортонормированные строки:

.

где в результате ортонормирования матрицы вектор преобразован в вектор .

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу до квадратной невырожденной матрицы :

.

где матрица размерности 4×8 должна достраивать матрицу до невырожденной квадратной матрицы размерности 8×8.

В качестве строк матрицы можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.

Завершим ортонормирование построенной матрицы, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу размерности 8×8 с ортонормированными строками:

.

Можем записать, что:

.

Тогда, подставив в формулу метода прогонки С. К. Годунова, получим:

Или:

.

Подставим эту последнюю формулу в краевые условия и получим:

.

Отсюда получаем, что на левом крае константы уже не на что не влияют, так как:

и остается только найти вектор из выражения:

.

Но матрица имеет размерность 4×8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:

.

где — любой вектор, в том числе вектор из нулей.

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:

.

Тогда итоговая формула для начала вычислений методом прогонки С. К. Годунова имеет вид:

.

Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С. К. Годунова.

Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий до квадратной невырожденной:

.

Начальные значения находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:

,.

где — вектор из нулей размерности 4×1.

Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С. К. Годунова.

В методе С. К. Годунова, как показано выше, решение ищется в виде:

численный ортонормирование матричный интегрирование.

.

На каждом конкретном участке метода прогонки С. К. Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:

.

Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, так как в случае постоянных коэффициентов достаточно вычислить один раз матрицу Коши на малом участке и в последующем лишь умножать на эту однажды вычисленную матрицу Коши.

И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.