Непрерывно-детерминированные модели систем (D — системы)

Детерминированные системы с непрерывными состояниями, функционирующие в непрерывном времени, называют динамическими системами или D-системами (Dynamic — динамический).

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные — функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Основные соотношения. Обычно в таких математических моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде будет.

где y'=dy/dt, y={y1, у2, …, уп) и f=(f1,f2,…, fn) — n-мерные векторы; f (y, t) — вектор-функция, которая определена на некотором (п+ 1)-мерном (у, t) множестве и является непрерывной.

Так как математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называются D-схемами (англ. dynamic).

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид y'=f (y, t).

Наиболее важно для системотехники приложение D-схем в качестве математического аппарата в теории автоматического управления.

Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных систем различной физической природы: механической SМ (колебания маятника) и электрической SK (колебательный контур).

Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением.

где тм, 1М — масса и длина подвеса маятника; g — ускорение свободного падения; и (t).

— угол отклонения маятника в момент времени t.

Из этого уравнения свободного u1082 колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания маятника TM=2рvlM/g.

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются.

где L_K, С_K — индуктивность и емкость конденсатора; q (t) — заряд конденсатора в момент времени t.

Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре. Например, период характеристических колебаний T_K=2рvL_KC_K

Очевидно, что, введя обозначения.

получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

где h0, ht, h2 — параметры системы; z{t) — состояние системы в момент времени t.

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели. Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы S_М) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы S_К).

Если изучаемая система S, т. е. маятник или контур, взаимодействует с внешней средой Е, то появляется входное воздействие x (t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид.

С точки зрения общей схемы математической модели х (t) является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т. е. полагать, что выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени y = z.