Нормальные напряжения при изгибе балки

Под действием изгибающего момента М в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения о, под действием поперечной силы Q — касательные напряжения т. Чтобы упростить задачу определения напряжений, рассмотрим чистый изгиб балки (рис. 7.1) при котором в поперечных сечениях балки отсутствует поперечная сила. Сплошной линией показана балка до деформации, пунктиром — после деформации. Под действием пары сил М балка изгибается. При этом верхние волокна сжимаются (е 0). В таком случае где-то в средней части балки есть волокна, где деформация е = 0, а следовательно, и напряжение о = 0. Слой волокон, в котором отсутствует нормальное напряжение, называется нейтральным. След пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью.

Форма поперечного сечения балки при изгибе также изменяется. В области сжатых волокон сечение становится шире, в области растянутых — Уже, так как продольная и поперечная деформации связаны коэффициентом Пуассона (с_попер =—|Х?_прод). При расчете балки на изгиб будем считать, что справедливы все гипотезы из п. 1.9. Из них выделим две гипотезы, которые будут использованы при выводе формулы нормальных напряжений при изгибе:

• • гипотеза отсутствия боковых давлений — волокна друг на друга не давят. В силу этой гипотезы при чистом изгибе волокна балки испытывают растяжение—сжатие о. = о_у =т = 0; о_х = о, следовательно, справедлив закон Гука при растяжении—сжатии о = Ее;
• • гипотеза плоских сечений — сечения плоские до деформации остаются плоскими после деформации. Как и при кручении, вывод конечной формулы состоит из трех частей.

Геометрический анализ. Вырежем из балки элемент длиной dv и рассмотрим его деформацию (рис. 7.2). Предположим, что волокно ab — след нейтрального слоя, его положение еще предстоит определить. В нейтральном слое волокна нс деформируются: е = 0 и о=0.

На некотором расстоянии у от ab возьмем волокно cd и рассмотрим его деформацию: ab = dx = pdO; cd = (p + y) d0, где p — радиус кривизны нейтрального слоя.

Деформация волокна cd на расстоянии у от нейтрального слоя.

Рис. 7.1. Чистый изгиб балки.

Откуда после упрощения получаем.

Рис. 7.2. К определению деформации при изгибе.

Физический анализ. Справедлив закон Гука. Следовательно, в силу гипотезы отсутствия боковых давлений.

Формула есть, но пользоваться ею нельзя, так как неизвестен радиус кривизны нейтрального слоя р. Чем больше нагрузка, тем меньше радиус кривизны. Найдем связь между ними.

Статический анализ. Изгибающий момент в сечении вызывает появление нормальных напряжений. Связь между ними устанавливает условие эквивалентности (1.3): Л/, = joydA. С учетом (7.2) а.

А.

Из выражения (7.3) находим кривизну балки:

Еу или окончательно Л/.

Подставляя (7.4) в (7.2), получаем о = —— Еу

^EJz

Завершая статический анализ задачи, рассмотрим еще два условия эквивалентности (1.2) и (1.3):

Так как при изгибе нет продольных усилий, то N = 0. Подставим выражение (7.5) в (7.6):

где S_z = jydA — статический момент сечения относительно ней;

А

тральной оси. Изгибающий момент M_z и момент инерции J. не могут быть равны нулю, поэтому S_z = 0. Следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.

По условию эквивалентности (1.3).

Но М_у = 0, так как рассматриваем плоский изгиб балки. Тогда, подставляя в условие (7.7) выражение (7.5), получаем.

где J_yz = jyzdA — центробежный момент инерции сечения. Следо;

А

вательно J_yz = 0, а оси у и z являются главными осями инерции сечения балки.

Теперь можно сформулировать дополнительное условие существования плоского изгиба: изгиб является плоским, если все силы лежат в одной из главных плоскостей инерции балки, т. е. в плоскости, проходящей через одну из главных осей инерции сечения и продольную ось балки.