Решение экономико-математических задач методами линейного программирования

Для решения задач определенных классов созданы прикладные программы, реализующие различные численные методы. В данном разделе приведены задачи, для решения которых используются аппарат линейного программирования и корреляционно-регрессионный анализ. Программы на языке Паскаль, предназначенные для решения такого рода задач, приведены в приложениях.

Задачи линейного программирования

Экономико-математические задачи в сельском хозяйстве решаются с помощью математических методов. Среди них наиболее разработанными и распространенными являются методы линейного программирования. Такие методы используются для решения экономико-математических задач, в которых количественные зависимости выражены линейно, т. е. все условия выражены в виде системы линейных уравнений и неравенств, а критерий оптимальности — в виде линейной функции, стремящейся к минимуму или максимуму.

В общем виде задача линейного программирования записывается так. Найти.

при условиях:

где j — номер переменной;

п — число переменных;

i — номер ограничения;

m — число ограничений;

— переменные (неизвестные);

— технико-экономические коэффициенты при переменных;

— оценки целевой функции;

— объемы ограничений.

Для решения общей задачи линейного программирования используется симплексный метод. С его помощью можно находить оптимальное решение всех задач линейного программирования.

Пример 1. Многолетние травы посеяны на площади 1000 га. Найти оптимальное сочетание их уборки на сено, сенаж и силос, если требуется заготовить не менее 21 000 ц корм. ед. грубых кормов и 12 000 ц корм. ед. силоса. При этом общие ресурсы труда составляют 15 760 чел.-ч.

Производство многолетних трав в зависимости от способов уборки характеризуется показателями, приведенными в табл. 2.

Таблица 2

Критерий оптимальности — максимум производства кормов. Для решения задачи составим развернутую экономико-математическую модель. Для этого обозначим через:

— площадь уборки многолетних трав на сено, га;

• — площадь уборки многолетних трав на сенаж, га;
• — площадь уборки многолетних трав на силос, га.

Запишем условия задачи в виде системы ограничений:

по уборке площади посевов многолетних трав:

по использованию ресурсов труда:

или после преобразований.

по гарантированному производству грубых кормов:

или после преобразований.

по гарантированному производству силоса:

или после преобразований.

Целевая функция — максимум производства кормов:

Представим модель в виде матрицы экономико-математической задачи (табл. 3).

Таблица 3

Данная задача решается с помощью симплексного метода. Программа симплексного метода приведена в приложении 1. Задача решается на ЭВМ в диалоговом режиме, т. е. машина выдает соответствующие команды, которым должен следовать оператор.

Результаты решения выводятся в следующем виде.

Машина:

Х[1] = 490.

Х[2] = 210.

Х[3] = 300.

Z = 34 750.

Программа допускает возможность корректировки исходной матрицы. Для этого при вопросе НАДО ВВОДИТЬ ИСПРАВЛЕНИЯ? 1(ДА), 0(НЕТ)? необходимо ввести в машину 1.

Экономический смысл результатов решения следующий. Оптимальное сочетание способов уборки многолетних трав достигается в случае, если на сено будет убираться 490 га, на сенаж — 210 га, на силос — 300 га. При этом следует производить 22 750 ц корм. ед. грубых кормов, в том числе сверх плана 1750 ц корм. ед., и 12 000 ц корм. ед. силоса. Общее производство кормов составит 34 750 ц корм. ед. Ресурсы труда используются полностью.

Далее решить данную задачу с помощью ППП Excel и в среде Matlab, сопоставить результаты.