Метод Ньютона. 
Элементы теории погрешностей. 
Интерполяция и аппроксимация функций

В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций Fi (x1, x2, …, xn) в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производные более высоких порядков), отбрасываются.

Пусть приближенные значения неизвестных системы (например, полученные на предыдущей итерации) равны соответственно а1, а2, …, аn. Задача состоит в нахождении приращений (поправок) в этим значениям x1, x2, …, xn, благодаря которым решение исходной системы запишется в виде:

x1 = a1 + x1, x2 = a2 + x2, ,. .. .. , xn = an + xn.

Проведем разложение левых частей уравнений исходной системы в ряд Тэйлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:

.. .. .. .. .. .. .. ... .

Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в ноль, то можно приравнять нулю и правые части:

.. .. .. .. .. .. .. ... .

Значения F1, F2, …, Fn и их производные вычисляются при x1 = a1, x2 = a2, …, xn = an.

Определителем последней системы является якобиан:

Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений x1, x2, …, xn к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:

В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы.

В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений:

F1(x, y) = 0.

F2(x, y) = 0.

где F1 и F2 — непрерывно дифференцируемые функции.

Пусть начальные значения неизвестных равны a, b .

После разложения исходной системы в ряд Тэейлора можно получить:

Предположим, что якобиан системы при x = a и y = b отличен от нуля:

Тогда значения x и y можно найти, используя правило Крамера следующим образом:

и.

Вычислив значения x и y можно найти следующие приближения неизвестных по формулам:

Величины, стоящие в правой части, вычисляются при x = a и y = b.