Оценивание надежности и качества коэффициентов уравнения регрессии

Надежность и качество оцениваемого коэффициента при соответствующем факторе в уравнении регрессии характеризует, насколько точнее уравнение регрессии, включающее этот коэффициент, отражает случайные величины результата, чем уравнение регрессии, не включающее этот коэффициент.

Оценить надежность и качество коэффициента уравнения регрессии можно с помощью средней ошибки аппроксимации, коэффициента частной корреляциидетерминации и t-критерия СтьюдентаF-критерия Фишера.

1. Средняя ошибка аппроксимации. Термин аппроксимация в дословном переводе означает «приближение», подразумевается замена одних изучаемых объектов на другие, более простые и схожие с исходными.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

. [11].

Если средняя ошибка аппроксимации не превышает 15%, то можно говорить о хорошем качестве уравнения регрессии.

2. Коэффициент частной корреляциидетерминации. Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии. Коэффициент детерминации, являющийся по сути квадратом коэффициента корреляции, анализирует общее качество уравнения регрессии.

Коэффициент частной корреляции рассчитывается по формуле:

Коэффициент детерминации:

. [17].

Значение коэффициента корреляциидетерминации:

Близость к нулю коэффициента корреляциидетерминации означает, что ошибка отображения результирующего показателя с помощью среднего значения и уравнения регрессии почти не отличается. Это означает, что качество уравнения регрессии плохое.

Близость к единице коэффициента корреляциидетерминации означает, что линия регрессии проходит близко к экспериментальным точкам и построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных, значит качество модели хорошее.

3. t — критерий Стьюдента F-критерий Фишера. С помощью критериев Стьюдента и Фишера оценивают качество регрессионной модели в целом и по параметрам методом испытаний гипотез. Для этого выполняется сравнение полученных (фактических) значений t F-критериев с табличными t F-критериями.

Сформулируем две конкурирующие гипотезы:

• нулевую о том, что коэффициент ;

• альтернативную (конкурирующую) о том, что коэффициент .

Если нулевая гипотеза будет отвергнута, когда она справедлива, то этот случай называется ошибкой первого рода, а его вероятность обозначается б.

Сначала найдем t — фактические:

где a, b — коэффициенты уравнения регрессии; случайные ошибки коэффициентов линейной регрессии коэффициента корреляции, которые определяются по формулам:

Найдем Fфактическое:

[10].

где n — число наблюдений.

После того, как будут найдены фактические значения критериев, найдем их табличные значения. Для этого определяют число степеней свободы и (равно количеству факторов х, а = n 1) и находят их значения в таблицах при определенном уровне значимости (0,10; 0,05; 0,01).

Значение критериев.

Зададим вероятность допустить ошибку первого рода, т. е. отвергнуть правильную гипотезу, как уровень значимости б = 0,05. Находим фактические и табличные значения критериев Фишера и Стьюдента и сравниваем полученные значения.

Если, , то нулевая гипотеза отвергается, a 0 и уравнение регрессии надежное, и его качество хорошее.

Если, , то нулевая гипотеза принимается, a = 0 и уравнение регрессии ненадёжное и его качество плохое.