Советы учителей по последовательности изучения уравнений и неравенств с модулем в школьном курсе математики

Многие учителя математики, основываясь на свой опыт, считают, что так как в средней общеобразовательной школе (6 — 9 кл) тема «Решение уравнений и неравенств с модулем» не выделена отдельно нужно на протяжении всех четырёх лет отводить уроки для последовательного рассмотрения основных способов решений таких уравнений и неравенств. Тогда в 10 — 11 классах освободиться время для нестандартных методов решений многих задач содержащих модуль.

Определение модуля даётся в 6 классе и поэтому уже в шестом классе можно вывести первые свойства.

1.

• 2.
• 3.
• 4.

И выделить время для решений простейших уравнений:

1. 3.

2. 4. при каких значениях p уравнение.

В 8 классе, после прохождения тем: «квадратные и дробные рациональные уравнения», увеличивается разнообразие уравнений, решение которых основывается на правилах (которые конечно же обосновываются).

1.

• 2.
• 3.

Например. а).

Следовательно, Ответ:1;8.

б).

в).

После изучения темы: «Неравенство с одной переменной и их системы» следует вывести следующие соотношения:

1.

• 2.
• 3.
• 4.

5.

6.

7.

8.

9.

Далее надо рассмотреть схемы решений следующих уравнений и неравенств:

1).

1 способ 2 способ.

Второй способ хорош тем, что не надо сравнивать f (x) с нулём Например,.

• 2)
• 3)
• 4)
• 5)

Все эти схемы надо отрабатывать на занятиях, которые не являются сложными. Так как, на первых уроках, самое главное это — теория.

а).

• б)
• в)

Ответ:

г).

Ответ:

В девятом классе, после изучения квадратных неравенств, все предыдущие схемы просто надо разнообразить. А вот после «Метода интервалов» остаётся рассмотреть решение уравнений и неравенств содержащих более одного модуля.

• 1. Находят О.Д.З. исходного уравнения
• 2. Определяют точки разрыва и нули функции
• 3. На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают О.Д.З, исходное уравнение заменяется равносильным, не содержащим знаков абсолютной величины (это возможно в силу того, что функции на этих промежутках знакопостоянны).
• 1.

• 1) О.Д.З.
• 2) Нули модуля: x=0
• 3)

х-1.

x — + +.

x-1 — - +.

Тогда исходное уравнение равносильно совокупности систем:

[17].

2.

• 1. О.Д.З.
• 2. Нули модуля:

3.

x+1 — + +.

Тогда данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

В конце 9 класса следует оставить время для разбора некоторых способов решения уравнений и неравенств с параметром. Учащиеся уже знакомы с графиком функции и построением графиков с помощью преобразований. Полезно выполнить построение графиков с модулями, симметрией. Рассмотреть графики неравенств.

1.

Рассмотрим все случаи раскрытия модулей. Чтобы долго не выписывать, можно записывать формулы прямо в соответствующих координатных четвертях.

Рис. 16.

3.

Строим графики двух парабол и берём у каждой ту часть, где.

(1) (2).

Ось симметрии задаётся уравнением Ось симметрии задаётся уравнением.

4.

1. строим границу.

2. берём контрольную точку (0; 0) и подставляем в условие.

Если получим верное неравенство, то т.(0; 0) входит в заштрихованную область, если неравенство не будет верным, то точка (0; 0) не входит в заштрихованную область. Данный метод называется Методом областей. С помощью этого метода можно решать неравенства с параметром. В девятом классе такой метод надо рассматривать на простейшем примере.

Решить неравенство при всех значениях а.

• 1. Построим график неравенства в системе ХОУ.
• а)

б) точка контрольная (100; 0) подходит. Далее следим за знаками скобок и заштриховываем области «через одну».

• в) для решения неравенства описываем каждую кривую выразив х через у.
• г) Мысленно перемещаем прямую у=а и прослеживаем, какая часть прямой попала в заштрихованную область

Ответ:

4. Найти число корней уравнения.

в зависимости от параметра, а Построим графики функций.

(можно было выделить полный квадрат.

Ось симметрии задаётся уравнением х=1.

Ответ:

7. Уже в 9 классе можно познакомить с координатно — параметрическим методом.

Решить уравнение для каждого действительного а.

Решение: На плоскости аОУ с параметрической осью Оа и координатной плоскостью ОУ построим прямые х=а и х=-а-1.

• 1. Прямые пересекаются в точке С ()
• 2. Образовались 4 области

в 1 области.

во 2 области.

в 3 области.

в 4 области.

• 3. в каждой области раскроем модуль
• 4. Значит на плоскости аОХ все точки границы дают

решение уравнения.

Ответ:

при [18].

4. Уравнения и неравенства с модулем в Едином Национальном Тестировании (ЕНТ) Уравнения и неравенства с модулем — одна из наиболее интересных и сложных тем курса алгебры. Задания данного раздела включаются в ЕНТ, начиная от простейших уравнений и неравенств с модулем, заканчивая системами уравнений и неравенств с модулем. Однако в учебниках курса алгебры и начала анализа, на наш взгляд, отводится мало внимания этому разделу, рассматривается лишь небольшое число общих видов уравнений и неравенств с модулем, их способов решений и упрощений. Этих видов зачастую может не хватить для решения заданий ЕНТ.

Поэтому стоит остановиться на рассмотрении данной темы более подробно. Учащимся нужно больше уделять внимание решению уравнений и неравенств с модуле. Необходимо уделить внимание поисковому характеру нахождения решений и дать возможность учащимся проявить творческий потенциал. Как раз на этом этапе можно включить уровневую дифференциацию и предложить учащимся самостоятельный поиск общего решения предложенного им уравнения или неравенства с модулем в зависимости от его сложности и нестандартности.

Итак, рассмотрим уравнения и неравенства с модулем, встречающиеся в Едином Национальном Тестировании (ЕНТ) и какие ошибки допускают выпускники.

Пример 4.1. Решите уравнение.

Решение: Характерной ошибкой учащихся, плохо понимающих суть абсолютной величины, является следующая логика в преобразовании, например, выражения :

по определению модуля:

Это, конечно, неверно! Верно:

или (что одно и тоже).

Поэтому x — 3 = 7 илиx + 3 = 7,.

x = 10 или x = -4.

Ответ: 10; -4. [19].

Пример 4.2. Решить неравенство:

Найдем промежутки знакопостоянства выражения. при 0.

или. Решением данного неравенства является промежуток (0;3). Учитывая, получаем решение исходного неравенства: [2;3). И наконец, ответ: .

Ответ:. [20].

Однако, такой подход к решению уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины, не всегда приводит к ответу. Под знаком модуля могут оказаться выражения, для которых бывает довольно затруднительно найти промежутки знакопостоянства.

В этом случае бывает удобно воспользоваться следующими свойствами модуля.

Уравнение |f (x)|=g (x) равносильно совокупности уравнений: f (x)=g (x) ил и f (x)=-g (x). Решая оба эти уравнения и беря объединение решений, получим решение исходного уравнения.

Неравенство |f (x)|>g (x) равносильно совокупности неравенств: f (x)>g (x) или f (x)<-g (x). Решая оба эти неравенства и беря объединение решений, получим решение исходного неравенства.

Неравенство |f (x)|.

Вышеперечисленные свойства помогают решить уравнение (неравенство) в том случае, если удается уединить единственный модуль в одной части уравнения (неравенства). [21].

Иногда выпускники забывают о свойствах модуля с помощь которых можно легко решить уравнения и неравенства.

1. ;

Знание этих свойств уже позволяет решать некоторые задания, не прибегая к процедуре раскрытия модуля. Покажем это на примерах.

Левая часть неравенства неотрицательна (свойство 1), правая — меньше нуля, поэтому неравенство верно всегда. Заметим, что ограничений на функции никаких нет.

Пример 4.5. Решить уравнение.

Очевидно, что слева 0 (свойство 2), но тогда, и (свойство 3).

Еще два пример на применение определение модуля.

Пример 4.7. Решить уравнение .

Модулей в условии задачи два, потому её решение будет состоять из объединения решений четырех систем неравенств:

Отметим, что третье неравенство во второй системе решать не имело смысла, мы заметим, что пересечением множеств, являющихся решениями первого и второго неравенств этой системы, является пустое множество.

Отметим так же, что если модулей в задаче будет три, то систем в совокупности станет восемь. И, не смотря на простоту каждой из них, при таком количестве легко может произойти путаница. Поэтому учащимся нужно постараться освоить более прогрессивный способ решения таких задач — метод интервалов.

И последнее замечание. Схема решения задачи совершенно не зависит от того, решаем мы уравнение или неравенство. Главное — правильно раскрыть модуль! [21].

Решение некоторых учеников:

Применяем метод интервалов. Нули подмодульных выражений: 1 и 2.

a.

c.

Ошибка допущена при рассмотрении пункта b.

a. Система означает, что при уравнение превращается в тождество, а это значит, что любое значение x из данного промежутка нас устраивает. Т. е. ответ на данном промежутке будет, а в итоговом ответе нужно добавить еще полученные на других промежутках точки 1 и 2.

Ответ: [1;2]. [25].

«Решение». Рассмотрим уравнение на двух промежутках.

a. Решаем уравнение: , получились корни 5 и -4. Системе удовлетворяет только .

b. Решаем уравнение:, т. е. -5 и 4. На этот раз системе удовлетворяет отрицательный корень .

Объединяем получившиеся решения.

Решение этого уравнения совершенно верно, но его можно было значительно сократить.

Сделаем замену. Тогда, учитывая равенство, перепишем наше уравнение в виде:. Корни получившегося уравнения: 5 и -4. Т.к., , или, или .

Ответ:. [22].

«Решение». Решаем уравнение методом интервалов.

При имеем:

;;; - решений нет.

При: ;; ;

; .

При: ;; , поэтому все точки этого промежутка удовлетворяют исходному уравнению.

И это решение правильное, но оно будет значительно короче, если, заметить, что исходное уравнение равносильно (ввиду положительности знаменателя) уравнению, решать которое с помощью, например, того же метода интервалов значительно проще. А еще проще вспомнить о геометрической интерпретации модуля. Тогда это уравнение «звучит» так: при каких значениях расстояние от до -2 будет на 4 больше, чем расстояние от до 2? Несложно сообразить, что этому условию удовлетворяют значения .

Мы рассмотрели только некоторые примеры ошибок которые допускали учащиеся во время ЕНТ при решении уравнений и неравенств, содержащие модуль.