Идентификация формы распределения результата

В качестве приближенного метода проверки нормальности распределения применяют метод, связанный с оценками центральных моментов третьего и четвертого порядков. В случае нормальности распределения должны выполняться приближенные равенства:

;

Для удобства сравнения подсчитывают безразмерные характеристики показатель асимметрии и эксцесс .

Обе эти характеристики должны быть малы, если распределение нормально. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками соответственно равными:

— для асимметрии,.

— для эксцесса.

Если хотя бы одна из указанных характеристик по абсолютной величине значительно (2−3 раза) превосходит свою среднюю квадратическую ошибку, то нормальность закона распределения следует подвергнуть сомнению и провести более тщательный анализ результатов наблюдений (например, с помощью критерия Пирсона).

В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения используются критерии согласия. Известен целый ряд критериев согласия, предложенных разными авторами. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона возможно при большом числе измерений (п>50) и заключается в вычислении величины ² (хи-квадрат):

где n_i, N_i — экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения; m — число интервалов разбиения; P_i— значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения; .

При n случайная величина ² имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы v = m — 1- r, где г — число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения г = 2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров — математического ожидания и СКО. Если бы выбранная модель в центрах всех m столбцов совпадала с экспериментальными данными, то все m разностей (n_i -N_i) были бы равны нулю, а следовательно, и значение критерия ² также было бы равно нулю. Таким образом, ² естьмера суммарного отклонения между моделью и экспериментальным распределением.

Критерий ² не инвариантен к числу столбцов и существенно возрастает с увеличением их числа. Поэтому для использования его при разном числе столбцов составлены таблицы квантилей распределения ², входом в которые служит так называемое число степеней свободы v = (m — 1 — r). Чтобы совместить модель, соответствующую нормальному закону, с гистограммой, необходимо совместить координату центра, а для того, чтобы ширина модели соответствовала ширине гистограммы, ее нужно задать как г = 2 и v = m-3.Часть квантилей распределения ²_q приведена в таблице № 1.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения ² меньше определенного из таблицы значения _q², то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается. Это не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т. е. она не противоречит опытным данным. Если же ²выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов распределения заключается в следующем:

* определяют оценки среднего арифметического значения х и СКО.

• * группируют результаты многократных наблюдений по интервалам длиной h, число которых определяют «так же, как и при построении гистограммы;
• * для каждого интервала разбиения определяют его центр x_io и подсчитывают число наблюдений П|, попавших в каждый интервал;
• * вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее выбранной аналитической модели распределения. Для этого сначала от реальных середин интервалов х_i0 производят переход к нормированным серединам z_i= (х_i0 — x?)/. Затем для каждого значения z_i с помощью аналитической модели находят значение функции плотности вероятностей f (z_i). Например, для нормального закона

По найденному значению f (z_i) определяют ту часть N_iимеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов N_i = nhf (z_i)/, где n — общее число наблюдений;

• * если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом. После этого определяют число степеней свободы v = m-1-r, где m — общее число интервалов. Если было произведено укрупнение, то m — число интервалов после укрупнения:
• * определяют показатель разности частот ²;
• * выбирают уровень значимости критерия q. Он должен быть небольшим, чтобы была мала вероятность совершить ошибку первого рода. По уровню значимости и числу степеней свободы v по таблице находят границу критической области _q², такую, что P{²>_q²} = q. Вероятность того, что полученное значение ² превышает _q², равна q и мала. Поэтому, если оказывается, что ² >_q², то гипотеза о совпадении экспериментального и теоретического законов распределения отвергается. Если же ²<_q², то гипотеза принимается.

Чем меньше q, тем больше значение _q² (при том же числе степеней свободы v), тем легче выполняется условие ²<_q²и принимается проверяемая гипотеза. Но при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. В связи с этим нецелесообразно принимать 0,02.

Иногда вместо проверки с односторонней критической областью применяют проверки с двусторонними критическими областями. При этом оценивается вероятность P{_qн²<²<_qв²}.Уровень значимости критерия q делится на две части: q = q₁ + q₂. Как правило, принимают q₁ = q₂. По таблице № 1 для P{²>_q²} = q находят ₁² при уровне значимости q, и числе степеней свободы v и ₂² уровня значимости 1 — q₂ и том же n. Гипотеза о совпадении распределений принимается, если