Электрический потенциал. 
Проводник в электрическом токе

Электростатическое поле, т. е. электрическое поле неподвижных зарядов, потенциально. Это означает, что работа электрического поля по перемещению пробного заряда по любому замкнутому контуру равна нулю:

A = ?q? E>dr> = 0. (7.1).

Потенциальность электростатического поля есть следствие закона сохранения энергии, ибо в противном случае можно было бы построить вечный двигатель 1-го рода.

Рис. 1.13.

Доказательство равенства (7.1) очень просто. Вследствие принципа суперпозиции достаточно проверить, что равна нулю работа по замкнутому контуру в поле точечного заряда (рис. 1.13). Вычислим интеграл.

A = ?? r>ir>qQ r>dr> r3.

соответствующий работе по перемещению пробного заряда q в электрическом поле E> = Qr>?r3 заряда Q из начальной точки с радиус вектором r>i в наблюдения точку с радиус-вектором r> по произвольному контуру. Дифференцируя тождество r>2 = r2, легко убедиться, что r>dr> = rdr. Поэтому криволинейный интеграл сводится к определённому между радиусами ri и r начальной точки и точки наблюдения:

A = ?? rirqQ dr r2 = qQ r? qQ ri.

Отсюда следует, что при любом выборе этих точек работа определяется только их положением и не зависит от формы пути. На замкнутом пути конечная точка совпадает с начальной, т. е. r = ri, поэтому A = 0.

Приведенное доказательство можно пояснить следующими рассуждениями. Любой контур можно представить в виде сегментов достаточно малого размера, поочередно идущих то по радиальному направлению от заряда Q, то по сферической поверхности, как показано на рис. 1.14.

Перемещение пробного заряда q по сфере перпендикулярно кулоновской силе, поэтому электрическое поле там не совершает работу. Все такие перемещения можно просто исключить. Тогда произвольный контур сжимается в отрезок прямой линии, идущей по радиусу от источника поля Q. Пробный заряд проходит этот отрезок дважды: сначала в одну сторону, потом обратно. На каждом участке обратного пути на него действует та же сила, что и при движении вперед, но так как заряд движется в противоположном направлении, работа имеет противоположный знак. Таким образом, при возвращении в точку старта работа электрического поля обращается в нуль.

Рис. 1.15 Работа A132 по перемещению заряда в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 по пути 132 равна работе A142 по перемещению того же заряда по пути 142. При перемещении заряда по замкнутому пути 13 241 работа на участке 241 изменит знак: A241 = ?A142. Поэтому A13241 = A132 + A241 = 0

В потенциальном электрическом поле работа не зависит от формы пути. Это утверждение можно рассматривать в качестве альтернативного определения свойства потенциальности электрического поля. Два определения полностью эквиваленты, как должно быть ясно из приведенных выше рассуждений. Формальное же доказательство состоит в том, что если замкнутый контур разбить на две траектории, имеющие общие точки старта и финиша, то из равенства работы при перемещении пробного заряда по этим траекториям следует равенство нулю полной работы по замкнутому контуру (рис. 1.15). И наоборот, из равенства нулю работы по замкнутому контуру следует равенство работы при перемещении пробного заряда по любым траекториям с общими точками старта и финиша.

Зафиксируем точку старта r>i, считая, что траектория перемещения заряда может финишировать в точке наблюдения с произвольными координатами r> = (x, y, z) (рис. 1.14). Тогда интеграл.

?(r>) = ?? r>ir>E>?dr> (7.2).

является однозначной функцией координат точки наблюдения, поскольку форма траектории не влияет на её значение. Функцию? называют скалярным потенциалом электрического поля; используют также термины электростатический или электрический потенциал. Скалярный потенциал равен работе, совершаемой электрическим полем при перемещении единичного пробного заряда из точки наблюдения в ту точку, где потенциал условно принят равным нулю. Если нуль потенциала не задан, то говорят, что потенциал определен с точностью до аддитивной константы.

Пробный заряд q в электростатическом поле обладает потенциальной энергией.

U (r>) = q ?(r>). (7.3).

Потенциальная энергия также определена с точностью до константы. Имеет смысл только разность потенциальной энергии U (r>)? U (r>i) между двумя точками. Эта разность равна работе по перемещению заряда из точки r>i в точку r>:

A = U (r>)? U (r>i). (7.4).

Потенциал точечного заряда Q нетрудно найти, повторив вычисления начала параграфа:

?(r>) = ?? rirQ dr r2 = Q r? Q ri.

Приняв за точку нуля бесконечно удаленную точку ri = ?, получим.

? = Q r. (7.5).

Если заряд qj находится в произвольной точке с радиус-вектором r>j, то.

?(r>) = qj? r> ?r>j?.

Потенциал системы зарядов есть сумма потенциалов отдельных зарядов:

?(r>) =? j q? r> ?r>j?. (7.6).

Это следует из принципа суперпозиции.

В системе СИ потенциал измеряется в вольтах (В). В абсолютной гауссовой системе единицей измерения является статвольт (стВ):

[?] = 1стВ? 300 В. (7.7).

При перемещении заряда 1Кл между точками с разностью потенциала 1 В совершается работа 1Дж, т. е. 1 В = 1Дж? Кл. Электрическое поле измеряется соответственно в вольтах на метр (В/м) и в статвольтах на сантиметр (стВ/см):

[E] = 1стВ/см? 3?104 В/м. (7.8).