Оптимальный портфель при условии заданной доходности

Ожидаемая доходность портфеля и дисперсия его доходности зависят от структуры портфеля, т. е. от типов ценных бумаг и их долей в общем вложении. Можно построить оптимальный портфель, минимизирующий риск при фиксированном уровне доходности и нормировании весовых коэффициентов. Такое решение минимизации риска впервые рассмотрено Марковичем. Математическая формулировка задачи имеет вид.

. (3.12).

При условиях.

. (3.13).

Получили задачу нелинейного математического программирования, оптимальное решение которой может быть найдено с помощью метода множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа для условий задачи имеет вид.

. (3.14).

Оптимальный портфель находится из решения относительно x_j, л и м системы линейных уравнений.

. (3.15).

Для трех видов ценных бумаг функция Лагранжа приобретает вид.

. (3.16).

Отсюда находим систему линейных уравнений при условии у_ij = у_ij :

. (3.17).

Система состоит из пяти линейных уравнений с пятью неизвестными x₁, x₂, x₃, л, м.

Ее решение для принятого состава портфеля из трех ценных бумаг имеет вид:

(3.18), (3.1), (3.20).

где:

х₁ — доход от вложенных в портфель средств на приобретение бумаги первого типа;

х₂ — доход от вложенных в портфель средств на приобретение бумаги второго типа;

х₃ — доход от вложенных в портфель средств на приобретение бумаги третьего типа.

Значения определителей D, D₁, D₂, D₃ находятся из соотношений.

D =.

D₁ =.

D₂ =.

D₃ =.

Пример:

Рассчитаем зависимость состава оптимального портфеля от его ожидаемой доходности, и построим график функции a_p(у_p) при оптимальном составе портфеля.

Исходные данные приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3 — Исходные данные для примера расчёта.

Решение.

Проведем расчет определителей. При преобразовании определителей используется правило прибавления кратного, состоящее в прибавлении кратного i-й строки к j-й строке, что не изменяет значения определителя:

D =.

Результаты расчетов представлены в таблице. 3.4.

Таблица 3.4 — Результаты расчетов.

При увеличении или уменьшении ожидаемой доходности оптимального портфеля a_p, по сравнению с граничными значениям, представленными в таблице. 4, доли от общего вложения х_j — становятся отрицательными.

График функции a_p (у_p) представлен на рисунке. 3.2.

Рисунок 3.2 — Доходность-риск оптимального портфеля На практике для сравнительно небольшого числа ценных бумаг произвести такие расчеты по определению ожидаемого дохода и дисперсии возможно.

При определении же коэффициента корреляции трудоемкость очень большая. Так, например, при анализе 100 акций потребуется оценить около 500 ковариаций.