Связь между показателями в регрессионной модели

При построении математической модели экономического процесса можно выделить два подхода.

Согласно первому в качестве модели принимается некоторая однозначная математическая функция. Однако в силу того, что экономические процессы в значительной мере зависят от трудноучитываемых вероятностных факторов, такое моделирование неудовлетворительно.

Более эффективным оказываются вероятностные или стохастические модели вида.

Y_i = f (X_i) + U_i

где f (X_i) — однозначная функция,.

U_i — случайная функция для характеристики неучтенных факторов. Обычно в качестве функции берут случайную величину с математическим ожиданием равным 0 и некоторой постоянной величиной дисперсии.

Линейная регрессионная модель

Пусть экономический объект характеризуется двумя показателями X и Y. Они принимают значения x₁, x₂ … x_n; y₁, y₂ … y_n и могут быть сгруппированы в пары (x₁, y₁)… (x_n, y_n). Линейная модель исходит из предположения, что значения X и Y связаны линейной функцией:

Построить линейную регрессионную модель — означает определить коэффициенты с и в таким образом, чтобы получающаяся прямая в каком-то смысле проходила на наименьшем удалении от точек наблюдения.

Для того, чтобы удовлетворить условию максимальной адекватности модели, используем метод наименьших квадратов (МНК).

Пусть — модельная прямая, x_i — значения точек наблюдения.

МНК требует, чтобы разность между модельными точками и точками наблюдений удовлетворяла условию.

— функционал f (x_i, y_i).

Станем находить коэффициенты с и в, пользуясь условием минимальности предыдущего выражения.

Оценка адекватности модели

Построенная модель опирается на статистические данные и по своей природе является вероятностной, поэтому для того, чтобы оценить степень сбываемости прогнозов на основе этой модели, нужно исключить вероятностные характеристики.

Выборочный коэффициент корреляции служит для оценки связи между случайными величинами. Он вычисляется по формуле.

где — выборочный корреляционный момент,.

— среднеквадратичные дисперсии.

Выборочный коэффициент корреляции г принимает значения в интервале (0;1). Чем ближе его значение к 1, тем более адекватной является построенная модель. Вероятность расхождения прогноза, сделанного с помощью модели, и измерения реальной величины составляет.