Решение задач. 
Применение графического метода в экономических задачах

Задача 1.

о планировании выпуска продукции пошивочному предприятию.

(Задача о костюмах).

Условие задачи

Намечается выпуск двух видов костюмов — мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм — 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского — 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Составим модель задачи.

Введем следующие обозначения: х₁ — число женских костюмов; x₂ — число мужских костюмов.

Прибыль от реализации женских костюмов составляет 10х₁, а от реализации мужских 20х₂, т. е. необходимо максимизировать целевую функцию:

f (x) = 10 х₁ + 20 х₂ -> max.

Ограничения задачи имеют вид:

х1 + х2 150.

2 х1 + 0,5×2 240.

х1 + 3,5×2 350.

х2 60.

х1 0.

Первое ограничение по труду х_{1 + х2 150. Прямая х1 + х2 = 150 проходит через точки (150, 0) и (0, 150).}

Второе ограничение по лавсану 2 х₁ + 0,5 х₂ 240.

Прямая 2 х₁ + 0,5 х₂ = 240проходит через точки (120, 0) и (0, 480). Третье ограничение по шерсти х₁ + 3,5 х₂ 350. Добавим четвертое ограничение по количеству мужских костюмов х2 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х2 = 60. На рис. 3. заштрихована область допустимых решений.

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е.

= (10;20).

Что бы построить этот вектор, нужно соединить точку (10;20) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору. Так, на рис. 2. изображен вектор градиент (30;60).

В нашем случае движение линии уровня будем осуществлять до ее выхода из области допустимых решений. в крайней, угловой точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума:

х1 + 3,5×2 = 350.

х_{1 + х2 = 150}

Отсюда легко записать решение исходной ЗЛП: max f (x) = 2300 и достигается при x₁=70 и x₂=80 (рис. 3.).

Рис. 3 Максимум целевой функции достигается в точке (70, 80)

Задача 2. Изготовление продукции.

Условие задачи Для изготовления двух видов продукции А₁ и А₂ используют три вида ресурсов S₁, S₂, S₃, нормы расхода ресурсов на 1 ед. продукции, а также прибыль от реализации приведены в таблице:

Необходимо составить такой план производства продукции, который обеспечит наибольшую прибыль от ее реализации.

Составим модель задачи Пусть надо выпустить изделий A₁ — x₁ шт., а изделий А₂ — x₂ шт. Тогда прибыль F = 2x₁ + 3x₂ ??max