Законы распределения ДСВ

1)Биномиальное распределение.

Рассмотрим последовательность n идентичных повторных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

• 1) Каждое испытание имеет 2 исхода, называемые успех и неуспех; это — взаимно несовместные и противоположные события;
• 2) Вероятность успеха — р — остается постоянной от испытания к испытанию; вероятность неуспеха — q; р+q=1;
• 3) Все n испытаний — независимы. Это означает, что вероятность наступления события в любом из n повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний.

Вероятность того, что в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие, А наступит ровно m раз,.

Это выражение называется формулой Бернулли.

Так как правая часть этого равенства представляет собой общий член биномиального разложения (q+p)ⁿ, то этот закон называют биномиальным.

Таким образом, биномиальным называют закон распределения ДСВ Х — числа появлений события в nнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна р; вероятности возможных значений Х=0, 12,…, m…, n вычисляются по формуле Бернулли.

Для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, имеем.

МХ=np;

DX=npq;

у (X)=

Мода при биномиальном распределении .

Вероятность появления хотя бы одного события, А при n испытаниях равна .

2)Гипергеометрическое распределение.

В задачах контроля продукции часто применяется гипергеометрическое распределение, которое описывается следующей математической моделью.

Пусть во множестве из N элементов содержится k элементов с признаком В. Вероятность выбрать элемент с признаком В при одном случайном извлечении из множества равна. Пусть из множества случайным образом извлекают n элементов, одновременно или последовательно, но без возвращения. Тогда число х элементов с признаком В, содержащихся в выборке, удовлетворяет гипергеометрическому закону распределения.

Замечание. В отличии от биномиального закона, применимого в случае независимых событий, в гипергеометрическом распределении события зависимы.

Вероятность появления в выборке из n элементов ровно х элементов с признаком В вычисляется по формуле:

.

Числовые характеристики:

3)Распределение Пуассона.

Закон Пуассона называют законом редких событий, поскольку он проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событие. Например, число телефонных вызовов, поступивших на коммутатор за некоторый промежуток времени, число несчастных случаев, произошедших в городе за некоторый промежуток времени и т. д.

Распределение Пуассона можно описать с помощью следующей математической модели. Пусть событие, А происходит многократно с течением времени, то есть имеет место поток однородных событий, который удовлетворяет следующим условиям:

• 1) Поток стационарен, то есть вероятность попадания k событий в промежуток времени (t; t+ф) зависит только от числа событий k и длины промежутка ф, но не зависит от начала t. Это означает, что математическое ожидание числа событий в единицу времени (плотность потока) постоянно.
• 2) Поток без последствия, то есть вероятность попадания k событий в промежуток времени (t; t+ф) не зависит от числа и появления событий до момента времени t, то есть имеет место взаимная независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.
• 3) Поток ординарен, то есть вероятность попадания двух и более событий в промежуток времени (t; t+ф) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события в этот промежуток, то есть вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю.

Поток событий, удовлетворяющий условиям 1)-3) называется простейшим. Плотность простейшего потока обозначим м.

Вероятность того, что событие, А в промежутке времени ф осуществится х раз, равна.

.

где л=мф — среднее число событий, происходящих в промежутке времени ф.

Числовые характеристики: МХ= DX=л, у (X)=.

Теорема о связи биномиального распределения с законом Пуассона.

Пусть таким образом, что произведение np остается постоянным и равным некоторому числу л>0. Тогда вероятность того, что случайная величина, распределенная по биномиальному закону, примет значение, равное m, стремится к вероятности этого же события, вычисленной по закону Пуассона с параметром л=np, то есть.

.

Замечание. Если распределение Пуассона применяется вместо биномиального, то n должно иметь порядок не менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а np<10.

Непрерывные случайные величины (НСВ) и законы их распределения.