Полярные координаты на эллипсоиде вращения

Геодезическая линия — это линия кратчайшего расстояния между двумя пунктами на любой поверхности. На сфере ей соответствует ортодромия, на плоскости — прямая. Название геодезическая линия принято не только в геодезии, но и в математике. Клеро (Alexis Claude Clairaut, 1713−1765, французский, математик, астроном, геодезист) в 1733 г. доказал, что на поверхности вращения в каждой точке геодезической линии произведение радиуса параллели r на синус азимута A линии величина постоянная:

Константа равна произведению большой полуоси эллипсоида (a) на синус азимута (A₀) линии в точке на экваторе. Линия совпадает с меридианом, когда азимут A₀ = 0. Из всех геодезических линий только меридианы проходят через полюса. Когда A0 = 90⁰, геодезическая линия совпадает с экватором. В иных случаях по мере ухода к северу геодезическая линия постепенно уклоняется от меридиана, так как радиус параллели уменьшается и, следовательно, её азимут должен увеличиваться. Ход геодезической линии показан на рис. 2.

Рисунок 2.

география математический эллипсоид геодезический После пересечения экватора в точке Q₁ геодезическая линия достигает точки Q₂ на параллели, где будет sinA = 1. Начиная с этой параллели, геодезическая линия повернет к югу. В точке Q₃ пересечёт экватор. В точке Q₄ коснется параллели, после чего повернёт на север. Таким образом, геодезическая линия будет описывать витки, последовательно касаясь то на севере, то на юге параллелей, где sinA = 1. Геодезическая линия, как пространственная кривая, обладает кручением. Поэтому после каждого витка она смещается по долготе, опутывая эллипсоид бесконечным числом витков.