Основные формулы теории вероятностей

Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы, где события и означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна, а вероятность вытащить две синие пуговицы. Так как событияи не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения.

Задача 2. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% - немецкий, 42% - французский; английский и немецкий — 8%, английский и французский — 10%, немецкий и французский — 5%, все три языка — 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.

Решение. Обозначим через A, B и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:

• а) P (AB)=P (A)+P (B) P (AB)=0,28+0,30,08=0,5;
• б) P (ABC)=P (A)+P (B)+P (C)(P (AB)+P (AC)+P (BC))+P (ABC)=0,28+0,3+0,42
• (0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;
• в) 1P (ABC)=0,2.

Задача 3. В семье — двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок — мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

Решение. Пусть А={старший ребенок — мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождение мальчика и рождение девочки — равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки — Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар:. В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола. Старший ребенок — мальчик, следовательно, второй (младший) ребенок — девочка. Этому событию AB отвечает один исход — МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и.

Задача 4. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 — нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая — стандартная. Значит,, где ={ первая деталь оказалась нестандартной } и ={вторая деталь — стандартная}. Очевидно, что вероятность события А1 равна кроме того,, так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных. По теореме умножения.

Задача 5. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике — 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы, где события и означают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна, а вероятность вытащить белый шар из второго ящика. Кроме того, в силу независимости и имеем:. По теореме сложения получаем: .

Задача 6. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.

Решение. Обозначим через гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи.

, .

Пусть событие A={слабо подготовившийся студент сдал экзамен}. Тогда снова в силу условия задачи.

, .

По формуле полной вероятности получаем:

.

Задача 7. Фирма имеет три источника поставки комплектующих — фирмы А, B, С. На долю фирмы, А приходится 50% общего объема поставок, В — 30% и С — 20%. Из практики известно, что среди поставляемых фирмой, А деталей 10% бракованных, фирмой В — 5% и фирмой С — 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?

Решение. Пусть событие G — появление годной детали. Вероятности гипотез о том, что деталь поставлена фирмами А, B, С, равны сответственно Р (А)=0,5, Р (В)=0,3, Р (С)=0,2. Условные вероятности появления при этом годной детали равны Р (G|A)=0,9, P (G|B)=0,95, P (G|C)=0,94 (как вероятности противоположных событий к появлению бракованной). По формуле полной вероятности получаем:

P (G)=0,50,9+0,30,95+0,20,94=0,923.

Задача 8 (см. задачу 6). Пусть известно, что студент не сдал экзамен, т. е. получил оценку «неудовлетворительно». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал?

Решение. Вероятность получить «неуд» равна. Требуется вычислить условные вероятности. По формулам Байеса получаем:

и аналогично,.

.

Отсюда следует, что, вероятнее всего, слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.