Дискретный метод Ньютона

Дискретный метод Ньютона базируется на аппроксимации матрицы Якоби на основе вычисленных значений функции в ряде вспомогательных точек. Построим его. Как и прежде, будем использовать векторную запись решаемой системы уравнений.

.

Пусть известно k-е приближение к решению. Аппроксимируем функцию линейной функцией:

.

Для численного определения матрицы и вектора потребуем, чтобы значения функций и совпадали в (n+1) вспомогательных точках, т. е. чтобы выполнялось равенство.

.

Вычитая из первого равенства все последующие, получим соотношения или в матричной форме ,.

где матрицы и имеют вид.

Следовательно, .

Условие позволяет найти вектор :

.

Перепишем функцию, подставив найденные соотношения для и :

Примем. Будем искать из уравнения Получим итерационную формулу дискретного метода Ньютона:

.

Заменяя обращение матрицы решением линейной системы, придем к реализуемому на практике алгоритму дискретного метода Ньютона:

Вычисляется вектор, матрицы и .

Решается система линейных алгебраических уравнений Вычисляется вектор поправки.

.

Вычисляется (k+1)-е приближение Пункты 1ч4 повторяются для k=0,1,2,… до получения решения с требуемой точностью.

Применение дискретного метода Ньютона предполагает хранениематриц и. Однако на практике в качестве вектора выбирается вектор алгебраический уравнение градиент интеграл.

.

где — диагональная матрица параметров дискретизации, — j-й столбец единичной матрицы. Элементы матрицы вычисляют по правилу, где — константа (например, 0.1).