Определенный интеграл. 
Элементы высшей математики

Рассмотрим функцию у = f (x), определенную на отрезке [a, b]. Осуществим разбиение отрезка [a, b] точками, а = а₀ < а₁ < а₂ < а₃ <… < а_n = b на n отрезков [a_R, bj. Обозначим это разбиение буквой Т. Выберем внутри каждого отрезка [a_R, bj произвольную точку х_к, значение функции в этих точках будет равно f (x_k) (рис. 1.7).

Рис. 1.7 Построение интегральной суммы

Построим интегральную сумму: Ј fx k) ^ k = S (T).

Если существует предел этой интегральной суммы при стремлении максимальной длины отрезка разбиения к нулю, т. е.

при max Ax⁰, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) и обозначается:

Jfx) dx = lim S (T) при max Axk⁰. (120).

Свойства определенного интеграла:

• 1. Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], тогда она интегрируема на любом отрезке [c, d] с [a, b].
• 2. Пусть a < c < b. Тогда если f (x) интегрируема на [a, b], то

J f (x) dx = J f (x) dx + J fx) dx. (121).

3. Пусть f (x) интегрируема на [a, b], а С — постоянная, тогда функция Сf (x) также интегрируема на этом отрезке и.

JC-f (x) dx = СJfx) dx. (1.22).

4. Пусть f (x) и g (x) интегрируемы на отрезке [a, b], тогда их сумма f (x) ± g (x) также интегрируема на [a, b] и.

b b b J[fx) ± g (x)] dx = Jfx) dx±Jg (x) dx. (1.23).

5. Пусть f (x) и g (x) интегрируемы на отрезке [a, b], тогда их произведение f (x) * g (x) также интегрируемо на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f (x), снизу отрезком [a, b], а также двумя отрезками х = а и x = b (рис. 1.8).

Другой случай — сверху функцией у =g (x), снизу — функцией у = z (x) и прямыми х = с и х = d.

Рис. 1.8 Геометрический смысл определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула устанавливает связь между первообразной F (x) для функции f (x) и определенным интегралом от этой функции:

Замечание.

Определенный интеграл существует:

• — для непрерывных функций;
• — для монотонных функций;
• -для функций, ограниченных на отрезке и имеющих не более чем конечное число точек разрыва на рассматриваемом отрезке.

Вычисление длины кривой и объема тел вращения.

Рассмотрим кривую y = f (x), определенную на отрезке [a, b] и имеющую на этом отрезке непрерывную производную (рис. 1.9). Тогда длину кривой y = f (x) вычисляем по формуле.

F (b) — F (a) = _J f (x) dx. (1.24).

(1.25).

Рис. 1.9 Длина дуги и объем тела вращения

ПРИМЕР 1.

Найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной параболой у = х³, отрезком 1 < х < 3 и прямыми х =1 и х = 3.

Решение Построим криволинейную трапецию, ограниченную параболой у = х³, отрезком 1 < х < 3 и прямыми х = 1 и х = 3. График криволинейной трапеции представлен на рисунке.

Вычислим площадь этой трапеции с использованием формулы Ньютона-Лейбница:

S = Jx dx = — = = 20 (кв. ед.).

Найти объем тела V, образованного при вращении этой кривой вокруг оси 0Х:

V = п * J x⁶dx = п.

x^{7 3} ₌ п * (3⁷ -1) 7, 7 (куб. ед.).

ПРИМЕР 2.

Найти площадь S фигуры, ограниченной кривой у = 3^x, прямыми x = 1, x = 2 и осью Ox.

Криволинейная трапеция S представлена на рисунке.

Решение.

S = J 3^xdx = — = — = -;

_l ln3 ₁ ln3 ln3 ln3 (кв. ед.).

ПРИМЕР 3.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² и прямой у = х.

График криволинейной трапеции приведен на рисунке.

Решение Определим точки перечечения параболы у = х² и у = х. х² = х, х (х-1) = 0,.

В результате получаем пределы интегрирования: х₁ = 0, х₂ = 1.

Тогда:

_x² _х³ — 1 1 1.

S = J (x — x) dx = ()| = = - (кв. ед.).

ПРИМЕР 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = 2 — х² и прямой у = х. График фигуры приведен на рисунке.

Определим точки пересечения параболы у= 2- х² и прямой у = х.

2 — х² = х, х² + х — 2 = (x — 1)(x + 2) = 0 Получаем пределы интегрирования: х₁ = 1, х₂ = -2.

Тогда:

J [ (2-x²) — x ] dx = (2x — x³/3 — x²/2) ¹_-2

(2 — 1/3 — V₂) — (-4 + 8/3 — 4/2) = 4,5 (кв. ед.).

ПРИМЕР 5.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = х² -3х и прямой у = - х. График фигуры приведен на рисунке.

Определим точки пересечения кривой у=х² — 3х и прямой у= - х.

х² -3х = - х, х² — 2х = x (x — 2) = 0.

Получаем пределы интегрирования: х₁ = 0, х₂ = 2.

Тогда: 2.

S = J [ (- x) — (x² -3х) ] dx = (x^2 — x³/3) ²₀ = 4/3 (кв.ед).

ЗАДАНИЕ Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

• 1) Параболой у = х² и прямой у = 2x.
• 2) Параболой у = x² — 2x и прямой у = 2x.
• 3). Параболой у = x² — х и прямой у = 3x.
• 4). Параболой у = 2x — x² и прямой у = - x.
• 5). Параболой у = 3x — x² и прямой у = 2x.
• 6). Кривой у = 1/x², прямыми х = 1, х =3 и осью Ох.
• 7). Кривой у = 2^x и прямой у = x + 1.
• 8). Кривой у = sin x, прямыми x = 0, x = — и осью Ох.