Развитие начертательной геометрии

Начертательная геометрия по своему содержанию занимает особое положение среди других наук: она является лучшим средством развития у человека пространственного изображения, без которого немыслимо никакое инженерное творчество.

До Монжа строители, художники и ученые обладали довольно значительными сведениями о проекционных методах, но только Монж создал начертательную геометрию как науку.

Ещё в древнем Египте при постройке зданий, при межевании плодородных земель, омываемых Нилом, в живописи при расписывании стен и на колоннах зданий, работая над стенными барельефами, прибегали к элементарным проекционным приемам. Об этом свидетельствуют сохранившиеся планы египетских городов, планы и фасады зданий и поместий.

Относительно точные сведения об уровне геометрических знаний в Древнем Египте сообщает папирус Ахимеса (измерение земельных участков, вычисление пирамид).

Основателем геометрии в Греции считают финикиянина Фалеса Милетского, получившего образование в Египте (ок. 624−547гг. до н. э.). Он основал школу геометров, которая положила начало научной геометрии.

Ученику Фалеса Пифагору Самосскому (ок. 580−500гг. до н. э.) принадлежат первые открытия в геометрии: теория несоизмеримости некоторых отрезков, например, диагонали квадрата с его стороной, теория правильных тел, теорема о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника.

Преемник Пифагора Платон (427−347гг. до н. э.) ввел в геометрию аналитический метод, учение о геометрических местах и конические сечения. Существовавшая до сих пор элементарная геометрия была, расширена и ее назвали трансцендентной.

Систематизировал основы геометрии, восполнил ее пробелы великий александрийский ученый Евклид (III в. до н. э.) в своем замечательном труде. «Начала» Евклида — первый серьезный учебник, по нему в течение двух тысячелетий учились геометрии. Большой научный прогресс в этой области совершился в эпоху Возрождения.

В трудах Пьетро-делла-Франческо дель Борго, Лоренцо Гиберти, Леона Баттисти Альберти, Леонардо да-Винчи, Виатора, Альбрехта Дюрера, Микель Анджело, Виньоля и других заложены основные теоретические положения, которыми должна руководствоваться практика построения перспективных изображений; в них указаны условия выполнения таких изображений (монокулярность зрения, закрепленность точки зрения и поверхности картины, единство физического момента времени).

Альбрехт Дюрер дал правила построения перспективы, связав ее с другим методом — с ортогональными проекциями.

Вопросам проектирования самых трудных частей сооружений (сводов) посвящены труды Филиберта Делорма.

В науку геометрия свои вклады внесли многие, ученые мира. На примере рассмотрим гениальных восточных ученных средневековья внесших вклад в мировую науку.

Абу Али, Ибн Сина — всемирно известный ученый-энциклопедист (Авицена). Бесценным его сочинением является «Медицинский канон». К вопросам теоретической арифметики посвятил отдельную часть своего крупного произведения «Данишнаме» («Книга знаний»). Четвертая глава произведения посвящена задачам, при решении которых используется циркуль и линейка.

Великий математик, астроном и географ Мухаммад Аль-Хорезми жил и творил в конце VIII-первой половине IX века (783−850 г). В этот период для решения проблем строительства, торговли, сельского хозяйства и ремесел начавшего свое становление феодального строя требовалось развивать такие науки, как астрономия, геодезия, география, математика и др. Аль-Хорезми явился основателем алгебры, арифметики, астрономии, географии, геодезии, разработал азбуку этих наук. По вопросам линейных квадратных и кубических уравнений прежде всего следует отметить знаменитое сочинение ал-Хорезми «Ал-китаб ал-мухтасар фи хисаб ал-джабри ва-л-мукабала» (Краткая книга об исчислении восполнении и противопоставления), которая в истории науки получило наиболее широкую популярность. Появление названий «алгебра» и «алгоритм», без которых современную математику нельзя представить, связаны именем ал-Хорезми. Впервые в работе ал-Хорезми алгебра была представлена как наука об общих методах решения числовых линейных и квадратных уравнений. Второй его произведения алгебра была посвящена геометрии. В этой книги решаются задачи геометрическим путем. Уточняется неизвестная сторона квадрата. Определяются площади геометрических фигур. Он доказывает практическое значение геометрических задач. Он дает примеры нахождения объема предметов.

Другой ученый-энциклопедист Абу Наср аль-Фараби (870−950) классифицируя наук той эпохи, отмечает, что математика состоит из семи крупных разделов: арифметика, геометрия, оптика, астрономия, музыка, статика, искусные приемы и определяет предмет и содержание каждого из них. Абу Наср аль-Фараби — учёный, которого называли «Восточным аристотелем» написал более 160 произведений. В его книге «Теория и классификация наук» говорится о том, что предмет геометрии состоит из теоретической и практической геометрии. Как сказал учёный, практическая геометрия используется в работе плотника, землемера, строителя и кузнецких дел. Это наука объясняет величину, размер, взаимное положение между геометрическими фигурами пишется в книге.

В исследованиях ученых средневекового Востока важное место занимает геометрические вопросы. Основные положения этой науки лежали на базе астрономических исследований того периода, и с развитием астрономии развивалась и геометрия.

Например, в известной книге Абу Райхона Беруни (973−1048) «Китоб-уттафхим», которая изложена в виде вопросов и ответов, отдельная глава отражает основные геометрические понятия. Например, в ответе 64-го вопроса, где «во внутри сферы, сколько фигур могут расположиться?», он объясняет, что их пять-куб (атом земли подобен кубу), икосаэдр (атом воды подобен икосаэдр), октаэдр (атом воздуха подобен октаэдру), тетраэдр (атом пламя подобен тетраэдру), и додекаэдр (атом мира подобен додокаэдру).

Одним из выдающихся астрономов, внесших огромный вклад в изучение вселенной, был великий узбекский учёный Мирзо Улугбек. В XV веке он построил в Самарканде одну из самых известных миру обсерваторий. Улугбек и его ученики изучали звёзды и следили за движением планет. Они составили каталог звёзд и таблицы движения планет, которые в течение долгого времени считались одними из самых точных в мире. В четвёртой части его произведения «Арифметика калити» (Мифтан-ул-?исоб) изложены задачи геометрии. В чем же заключались особенности этой новой науки?

Исходя из математических пространственных трех прямоугольных координатных осей Монж, создав начертательную геометрию, показал, что она дает возможность не только изображать строительные конструкции, но также решать чисто графическим путем и метрические задачи. Монж взял положение любой точки пространства с проекциями ее на плоскостях, образуемых попарно этими координатными осями. Учтя, что взаимное расположение проекций не изменяется от параллельного перенесения профильной плоскости, он показал, что в большинстве случаев можно получить нужный результат, не прибегая к помощи профильной плоскости проекций. В тех же случаях, когда решение пространственных задач облегчается пользованием такой плоскости, он делает это неявно, не связывая ее с определенным началом координат, а рассматривая ее как частный случай проектирующей плоскости. Все стереометрические операции он выполняет в проекциях на две плоскости, связывая их между собою неизменным положением. Обе плоские проекции Монж размещает в одной плоскости, т. е. на одном листе чертежа, вращая вертикальную плоскость вокруг линии пересечения ее горизонтальной плоскостью проекций, т. е. вокруг оси ОХ. Таким образом, он ввел впервые «ось проекций» на плоскости чертежа, а самые проекции, вертикальную и горизонтальную, размещает так, что обе проекции любой точки изображаемой системы располагаются на одном перпендикуляре к оси проекций. В этом случае расстояния проекций до осей и будут координатами точки.

Далее, анализируя производственные операции, Монж сводит их к элементарным абстрактным, располагая их в логической последовательности и заполняя пробелы. Таким образом, он создал научную систему, показав при этом, что из двухмерного чертежа можно вывести все те отношения, которые вытекают из формы и взаимного расположения в пространстве трех измерений. Он подвел также научную базу под те эмпирические правила, которые до него давались без теоретического обоснования.

В конце XX века во Франции Гаспаром Монжем была опубликована его книга «Начертательной геометрии» (Geometrie descriptive, 1795). С тех пор новая наука, вызванная к жизни Монжем, благодаря назревшей потребности со стороны инженерно-строительной техники, стала быстро распространяться не только во Франции, но и в других странах. Она прочно укрепилась в высшей технической и художественной школах как основная учебная дисциплина, без которой немыслимо образование инженера, архитектора и художника. Впервые работа Монжа была напечатана именно как учебное пособие. Своего значения его начертательная геометрия не потеряла до сих пор, и в наши дни она составляет основную часть учебного курса методов изображений. На примере начертательной геометрии сказался общий характер разносторонней деятельности Монжа его глубокий исследовательский ум, двигающий вперед науку, и кипучая разнообразная работа, направленная на приложение его теории к практике.

Продолжая свои изыскания, Монж дал общий метод решения стереометрических задач посредством геометрических построений на плоскости, который он назвал начертательной геометрией (Geometrie descriptive) и начал писать курс этой науки для Мезьерской школы. Ему было запрещено что-либо публиковать из боязни, что иностранцы могут воспользоваться достижениями французской науки в ущерб Франции. Даже в самой Франции этот метод имел ограниченное применение. Более 20 лет этот основной его труд не видел света. За это время Монж создал другой свой крупный труд, относящийся к теории поверхностей: «Приложение анализа к геометрии» (Application de l’Analyse a la Geometrie), который предварительно печатался в 1795 г. отдельными тетрадями для студентов Политехнической школы: «Feuilles d’analyse appliquee a la geometr-ie». В этой работе Монж рассматривает поверхности с точки зрения образования их движением линий. Свой труд он сопровождает изложением собственной теории интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка и решением задачи о колебаниях струны.

Лекции по начертательной геометрии Монж впервые прочел для слушателей первого набора Нормальной школы. Это был первый публичный курс. Стенограммы лекций были отредактированы автором и напечатаны в «Журнале» Нормальной школы (т. I-IV за 1795 г.); первое издание книги осуществлено в 1798 г., тогда же его лекции начали выходить отдельными выпусками. Всего вышло 13 выпусков. Первые 9 выпусков были сведены затем в отдельную книгу, которая была издана в 1799 г. Третье издание, полностью совпадающее со вторым, вышло в свет в 1811 г. Четвертое издание (1820 г.) содержало текст 1799 г. и тексты трех последних лекций Монжа в Нормальной школе.

Обычно имя Монжа связывается с созданием начертательной геометрии: это не совсем так. Начертательная геометрия в основных своих идеях существовала и до Монжа: известен был координатный метод, ортогональное проектирование и его применение к построениям планов и чертежей. Однако не было ни общей теории, ни ясных и четких способов ее применения на практике. Монж создал начертательную геометрию как математическую науку, свел воедино, в одну логическую систему, отдельные законы, теоремы и правила, известные до него, и, кроме того, сделал геометрию основным предметом в высшей технической школе. Как указывает Шаль, начертательная геометрия явилась общей теорией направлений техники, связанных с геометрией: она приводит к небольшому числу отвлеченных принципов и к удобным и достоверным построениям все геометрические действия, относящиеся к технике. Этим не исчерпывается ее значение: «Начертательная геометрия, — говорит Шаль, — будучи графическим переводом общей рациональной геометрии, послужила светочем при изыскании и истолковании результатов геометрии аналитической; по характеру своих приемов, имевших целью установить строгое и полное соотношение между фигурами, действительно начерченными на плоскости, и телами, воображаемыми в пространстве, она ближе ознакомила с геометрическими формами; она дала возможность представлять их скоро и точно и тем удвоила наши средства исследования в науке о пространстве». 2].

Нормальная школа, которой положил начало Монж, была закрыта в мае 1795 г. С 1 сентября 1795 г. курс начертательной геометрии читался в Политехнической школе. Курс, прочитанный в Политехнической школе, отличался от курса Нормальной школы и имел некоторые принципиальные особенности. Сама структура этого курса, который Монж считал важнейшим предметом подготовки инженеров, тесно увязана с технической практикой.

Особый интерес представляет программа первых 24 лекций. Содержание ее следующее.

I. Основные принципы (лекции 1−4).

• 1. Изложение теории проекций. Способы, упрощающие ее применение.
• 2. Способы построения пересечения поверхностей, касательных и плоскостей, нормальных к кривым линиям, нормалей и плоскостей, касательных к искривленным поверхностям.
• 3. Примеры применения изложенных принципов к решению некоторых вопросов, относящихся к форме тел и к их взаимным положениям.
• 4. Образование, свойства и построение развертывающихся поверхностей и поверхностей двоякой кривизны.

II. Резка камней (лекции 5−8).

• 1. Устройство сводов и камней сводов; изложение условий, которым они должны удовлетворять.
• 2. Разборка сводов на камни (своды из мелкого камня, из кирпичей, из пиленого камня). Условия, которым должна удовлетворять такая разборка относительно устойчивости, прочности камня, относительно общих условий.
• 3. Способы, при помощи которых каждому из камней, входящих в состав сооружения, придается форма, необходимая для того, чтобы они, будучи уложены на свое место, произвели необходимое действие.
• 4. Применение метода проекций для достижения указанной цели.

III. Резка дерева (лекции 9−12).

• 1. Общие предписания плотничного дела (деревянные плиты, доски, ступени, машины, суда).
• 2., 3. Способы, при помощи которых каждой части придаётся та форма, которую она должна иметь: в случае, если часть — прямая (чего требуют способы обмера и обтёсывания дерева);в случае, если часть кривая.
• 4. Применение метода проектирования для двух последних случаев.

IV. Тени (лекции 13 и 14).

• 1. Геометрическое определение тени, которую отбрасывает произвольно заданное тело на любую заданную поверхность, полагая, что светящееся тело является единственной точкой.
• 2. Определение тени и полутени от произвольного тела на любую поверхность в предположении, что размеры светящегося тела являются конечными и что форма его задана.

V. Перспектива (лекции 15 и 16).

• 1. Линейная перспектива; геометрическое построение перспективы любого тела, заданного своей формой и положением на таблице, также заданной формой и направлением.
• 2. Воздушная перспектива; об интенсивности оттенков поверхностей объектов, находятся ли они в тени или освещены, учитывая их положение как относительно светящегося тела, так и относительно глаза, который их видит, а также несовершенство зрения.

VI. Топография (лекции 17−20).

• 1. Методы точного определения положения основных точек на большой карте.
• 2. Методы заполнения с помощью планшетки для объектов, которые требуют определенной точности, по буссоли, если срочность не позволяет воспользоваться иными способами.
• 3. Различные приёмы нивелирования.
• 4. Искусство изображать на картах формы и пересечения местности.

VII. Машины (лекции 21−24).

способов, с помощью которых можно преобразовать поступательное движение в движение по окружности и наоборот, движение по окружности в возвратно-поступательное движение и наоборот, обратно-поступательное движение в поступательное движение и наоборот.

• 2. Представление способов облегчения движений всех видов.
• 3., 4. Описание основных машин, приводимых людьми, животными, силами, заимствованными у природы, подобно текущей воде, падающей воде, ветру и водяному парy.

Таково содержание программы, составленной Монжем. Оно значительно шире наименования самого предмета и охватывает не только геометрию, но и некоторые новые прикладные и технические науки. У него, очевидно, была идея создания общего графического метода решения технических задач. Это явствует из предисловия («Программы»), которое Монж предпослал своему курсу. Он утверждает, что целью подготовки специалистов является обучение их «пользованию всевозможными инструментами, предназначенными для того, чтобы вносить точность в работу и измерять её степень». И далее: «Народному образованию будет дано полезное направление, если наши молодые специалисты привыкнут применять начертательную геометрию к графическим построениям, необходимым во многих областях, и пользоваться ею для построения и определения элементов машин, при помощи которых человек, используя силы природы, оставляет за собой только работу разума.» .

Первый раздел «Начертательной геометрии» посвящён изложению метода проекций. Монж начинает с изображения точки и исследует возможные способы определения её положения в пространстве. Прежде чем перейти к ортогональному проектированию, он определяет положение точки относительно трёх точек в пространстве, положение которых известно, затем — относительно трёх заданных прямых. Так, если точка находиться на некотором расстоянии от первой прямой «А», то, следовательно, она находится на поверхности кругового цилиндра, осью которого является «А», а радиус основания равен заданному расстоянию. Если, кроме того, искомая точка находиться на некотором другом (также определённом) расстоянии от иной прямой «В», это означает, что она лежит и на поверхности второго кругового цилиндра, осью которого служит «В». Следовательно, точка находится на линии пересечения обоих цилиндров, которая, очевидно, является кривой двоякой кривизны. Вводя затем подобным образом третий цилиндр с осью «С», расстояние которой от точки задано, мы приходим к определению пересечений кривой двоякой кривизны с цилиндром; таких пересечений в общем случае будет восемь. Итак, искомая точка может быть одной из восьми и для точного определения её положения необходимо задать ещё некоторые дополнительные условия.

Исходя из этого рассуждения, Монж приходит к выводу, что определять положение точки в пространстве следует не относительно трёх точек или трёх линий, а относительно трёх плоскостей. «Таким образом, пишет он, пользуются при применении алгебры к геометрии. Но в начертательной геометрии, которая начала применяться гораздо раньше и значительно большим числом людей, и притом людей, время которых дорого, методы ещё более упростились; вместо того, чтобы рассматривать три плоскости, научились при помощи проекций ограничиваться рассмотрением только двух плоскостей».

Второй раздел «Начертательной геометрии» посвящён изучению построения касательных плоскостей и нормалей к кривым поверхностям. Монж определяет касательную плоскость как плоскость, проведённую через две касательные к образующим в точке их пересечения; прямую, проведённую через точку касания перпендикулярно к касательной плоскости, он называет нормалью к поверхности. В преамбуле раздела Монж указывает на прикладную важность этой теории; примеры он заимствует из архитектуры и живописи. В первом случае он рассматривает обтёсанные камни, предназначенные для кладки сводов, и грани их соприкосновения между собой.

Третий раздел книги посвящён теории пересечения кривых поверхностей. Эта теория получила важное значение для развития построения машин. Рассматривая пересечение таких поверхностей, Монж замечает, что последовательность точек, общая для обеих поверхностей, будет в общем случае кривой линией; в частности, она может выродиться в прямую линию или лежать в одной плоскости; наиболее общим случаем будет кривая двоякой кривизны. Он указывает при этом, что можно установить соответствие между операциями алгебры и методами начертательной геометрии. В алгебре способ исключения неизвестных приводит к одному уравнению с одним неизвестным, аналогично в начертательной геометрии кривые и поверхности могут принимать различные положения, но образующиеся при этом новые объекты будут выражаться соответствующим уравнением.

При изложении самого способа построения Монж пользуется системой вспомогательных плоскостей. В некоторых случаях, чтобы получить более легкое и изящное решение, можно вместо этого пользоваться совокупностью кривых поверхностью; иногда — системой горизонтальных плоскостей. Наконец, для случая двух поверхностей вращения, оси которых лежат в одной плоскости, но не параллельны друг другу, самым подходящим будет применение системы сферических поверхностей, общий центр которых находится в точке пересечения осей.

Четвёртый раздел собрал прикладные задачи начертательной геометрии. Здесь Монж обращается к общеобразовательному значению этой науки, которое, по его мнению, должно постоянно возрастать. В конце XVIII в. это было чем-то вроде энциклопедии общей техники; кроме того, изучение начертательной геометрии развивало у учащихся пространственное воображение, совершенно необходимое инженеру.

Первые три задачи имеют скорее теоретический, чем практический интерес:

• — нахождение центра и радиуса шара, поверхность которого проходит через четыре произвольно заданные точки в пространстве;
• — вписание шара в заданную треугольную пирамиду;
• — построение проекции точки, расстояние которой до трёх заданных точек известно.

Четвёртая и пятая задачи относятся к картографии. Любопытна шестая задача, где Монж рассматривает военную новинку конца XVIII в. «Генерал армии, стоящей перед лицом врага, не имеет карты местности, занимаемой последним; она ему нужна, чтобы составить план предпринимаемой атаки. В его распоряжении имеется аэростат. Он поручает инженеру подняться на аэростате и составить карту, чтобы сделать приближённую нивелировку местности.

Но Монж имеет основание думать, что если аэростат будет менять своё положение над местностью, враг догадается о его намерениях; поэтому он позволяет инженеру подниматься на разные высоты, если это нужно, но не разрешает менять положение аэростата. Инженер имеет угломерный инструмент, снабжённый также и отвесом. Спрашивается, как он может исполнить приказание генерала?". Далее Монж приводит рассуждения разъясняющие решение задачи, которое (по его словам) настолько просто, что не требует рисунка.

Пятый раздел книги посвящён исследованию некоторых теоретических вопросов, касающихся кривизны пространственных кривых и кривизны поверхностей. Монж указывает на необходимость этой теории для профилирования кулачков и зубьев зубчатых колёс. В XVIII веке «кулачки вращающихся валов» выходили буквально «из-под топора», и, как известно, до конца века подавляющее количество зубчатых колёс было деревянным, в том числе колёса карманных часов, «яиц» .

После изложения теории кривых двоякой кривизны и в качестве частного случая плоских кривых, Монж переходит к доказательству теоремы о кривых поверхностях. Каждая поверхность имеет в любой своей точке только две кривизны; каждая кривизна имеет своё собственное направление, свой собственный радиус, а две дуги, по которым эти кривизны измеряются, перпендикулярны друг другу на поверхности. При этом он пользуется исключительно геометрическими соображениями. Он делит все поверхности (с точки зрения кривизны) на три класса: к первому относятся те, которые во всех своих точках не имеют ни какой кривизны (т.е. плоскости); ко второму — поверхности, имеющие в каждой данной точке единственную кривизну; к третьему — поверхности, имеющие в каждой точке две различные кривизны, которые могут изменяться независимо одна от другой (в частном случае, например, в случае сферы, обе кривизны равны между собой).

К начертательной геометрии Монжа примыкает его «Теория перспективы». Однако между этими двумя разделами курса, который Монж читал в Политехнической школе и в Высшей нормальной, есть существенная разница. Начертательная геометрия представляет собой не что иное, как классическую геометрию в применении к некоторым построениям. Теория перспективы является принципиально новым разделом геометрии; впоследствии Понселе построит на её основании проективную геометрию и таким образом выйдет за пределы классических идей.

Изложив основы линейной перспективы, Монж переходит к воздушной перспективе, которую излагает весьма тщательно, подчеркивая при этом её экспериментальный характер: «Мы далеки от мысли что изложенное, представляет законченное учение; это лишь отдельно высказанные мысли, предназначенные для того, чтобы открыть более или менее новые пути. Мы хотели бы, чтобы из наших попыток выросли более глубокие исследования и чтобы они стали для науки началом некоторых будущих успехов». Монж изучает освещённость с точки зрения физики и физиологии. Он учитывает сопротивление среды распространению светового луча, оценивает отражение света гладкой и шероховатой (матовой) поверхности. Далее рассматривает случай сферической поверхности: несмотря на то, что освещённость поверхности одинакова, сила света будет тем меньше, чем ближе к нормали направление светового луча. В качестве примера Монж приводит Луну, которую рассматривает как матовую поверхность, отражающую солнечные лучи. Поскольку Луна не имеет атмосферы, то из-за её сферической поверхности мы видим возле её краёв под тем же углом зрения большие поверхности, чем в её центре, и, следовательно, освещённость Луны у краёв представляется нам большей, чем в центральной части.

" Рассмотрим два ряда одинаковых предметов, расположенных на большом расстоянии; пусть один ряд состоит из освещённых предметов, другой из предметов, погружённых в тень. Освещённость предметов, составляющих первый ряд, будет ослабевать по мере их удаления от источника света. Если предположить, что предметы белого цвета, то их белизна будет становиться менее яркой и будет незаметно изменяться при переходе от одного предмета к другому, и весьма ощутимо заметно это изменение на протяжении всего ряда. Белизна приобретает голубоватый оттенок; в то же время тень предметов, составляющих второй ряд, будет ослабевать в той же интенсивности, приближаясь, однако, не к белому, а к голубому цвету. Если оба ряда рассматриваемых предметов простираются исключительно далеко, то наступит такой момент, когда белизна освещённых предметов и чернота находящихся в тени, всё время убывающая с переходом в синеву, сольются в цвете атмосферы. Мы наблюдаем подобное явление, рассматривая высокие горы… их покрытые снегом и сверкающие, их сильные тени, столь резко выраженные при рассмотрении с небольшого расстояния в ясный день, — всё почти совсем гаснет и растворяется в лазури неба" .

Как видим, геометрия переходит в теорию искусства, а геометрические построения тесно связаны с проблемами изображения. Монж был не только ученым — он был практиком и поэтому ближе других подошел к решению комплексных проблем, равно относящихся к той или иной области человеческой деятельности; поэтому, возможно, начертательная геометрия именно у него приобрела свою классическую форму. Действительно, чтобы предпринять какие-либо технологические операции над телом, имеющим вполне определённую форму, нужно найти адекватное изображение этой формы; в противном случае любое решение будет частным и не сможет привести к созданию соответствующей теории. У начертательной геометрии в использовании и в понимании Монжа была двоякая роль: она, во-первых, подменяла собой определённый свод технических познаний, была в некотором роде «энциклопедией техники»; во-вторых, она давала в руки инженера ряд графических методов решения задач. Наконец, с начертательной геометрией был создан общепонятный язык техников, очень скоро получивший международное значение.

Однако, кроме своего практического применения, начертательная геометрия несет ещё одну важную функцию, на которую указал в своё время ученик Монжа Дюпен: она является графической традицией рациональной геометрии. Геометрия имеет дело с предметами, ориентированными в трёхмерном пространстве; целью начертательной геометрии в таком случае является представление в воображении пространственных форм, их сочетаний и операций над ними. Мы говорим здесь о геометрии конца ХVIII — начала ХIХ в., с которой имели дело математики до опубликования революционных идей Н. И. Лобачевского. Ум человека приучается представлять пространственные образы не как индивидуальные образования — точки, линии, поверхности и тела, существующие в идеальном абстрактном пространстве, а как совокупности, которые можно приближать друг к другу, комбинировать; можно предвидеть результаты их пересечений. Для геометрии той эпохи идеи эти несли с собой новую мысль; они послужили стимулом к созданию новой геометрии, одним из основоположников которой явился сам Монж.

Мы видели, основной задачей, поставленной Монжем, было представление трёхмерных тел природы на двумерной поверхности. Второй его задачей было определить для подобного представления математические соотношения, основанные на форме и положении тел.

К решению он подходит планомерно, детально разбирая построение точки, линии, поверхности. Именно этой планомерности не было у его предшественников; они предлагали либо теоретические исследования, которым трудно было найти практическое применение, либо ряд проверенных рецептов, которые следовало выучить на память без рассуждений.

Монж не стал относить положение изучаемых объектов к фиксированным точкам или к прямым линиям; его метод заключается в том, что он относит объекты к плоскостям, перпендикулярным между собой, тогда каждая точка и каждая линия проектируемого объекта также проектируются на эти плоскости. В некоторых простейших случаях принцип проектирования упрощается. Так, плоскость полностью определяется прямыми линиями, «следами» на плоскостях проектирования; сфера — двумя проекциями её центра и большого круга; цилиндр — своим пересечением с одной из плоскостей проектирования и проекцией его сечения.

Следующей задачей, поставленной Монжем, было изображение сочетаний точек, линий и поверхностей. При построении плоскостей Монж рассматривает три случая: плоскости, параллельные между собой, перпендикулярные и наклонные. Естественно, в первом случае ему приходится определять расстояние между плоскостями, а в последнем — величину наклонения.

Затем Монж переходит к изучению линий и плоскостей, которые занимают относительно кривых поверхностей какие-либо важные положения; главными из них являются касательные плоскости и нормали. Монж разработал графические методы изображения подобных плоскостей и линий исходя из таких предположений; точки, через которые следует провести нормаль касательную плоскость, заданы на поверхности, вне поверхности заданы одна точка нормали и две точки касательной плоскости. Он специально занимается также случаями, когда касательная плоскость проведена к одной, двум или трём сферам.

Изложение курса завершают построения, выполняемые в развитие основных идей. Однако Монжа не удовлетворяло пассивное изучение его предмета, от своих учеников он требовал активности, чтобы они решали и такие задачи, которые выходили за пределы курса. Это стремление ввести учащегося в творческую лабораторию учёного особенно характерно для Монжа. Он не создал научной школы, но среди его учеников оказалось много крупных учёных, продвинувших вперёд и математику и механику. Его начертательная геометрия очень быстро перестала быть ведущим предметом в системе преподавания, но, несмотря на это, именно с ней была связана важнейшая задача высшего технического образования, выполненная уже в ХIХ в., — становление прикладной и технической механики.

Создание «Начертательной геометрии», трактат которой вышел в свет только в 1799 году под заглавием «Gйomйtrie descriptive», послужило началом и основой работ, позволивших новой Европе овладеть геометрическими знаниями Древней Греции; работы же по теории поверхностей, помимо своего непосредственного значения, привели к выяснению важного принципа непрерывности и к раскрытию смысла той обширной неопределенности, которая возникает при интегрировании уравнений с частными производными, произвольными постоянными и тем более с появлением произвольных функций.

Принцип непрерывности в том виде, в каком он сформулирован Монжем, может быть изложен следующимобразом. Всякое свойство фигуры, выражающее отношения положения и оправдывающееся в бесчисленном множестве непрерывно связанных между собой случаев, может быть распространено на все фигуры одного и того же рода, хотя бы оно допускало доказательство только при предположении, что построения, осуществимые не иначе как в известных пределах, могут быть произведены на самом деле. Такое свойство имеет место даже в тех случаях, когда вследствие полного исчезновения некоторых необходимых для доказательства промежуточных величин предполагаемые построения не могут быть произведены в действительности.

монж гаспар геометрия начертательный.

Рисунок 2.

Самолёт Hawker Sea Hawk, изображённый с помощью эпюраМонжа (рисунок 2).

Из других, менее значительных вкладов Монжа в науку следует назвать теорию полярных плоскостей применительно к поверхностям второго порядка; открытие круговых сечений гиперболоидов и гиперболического параболоида; открытие двоякого способа образования поверхностей этих же тел с помощью прямой линии; создание первого представления о линиях кривизны поверхностей; установление начал теории взаимных поляр, разработанной впоследствии Понселе, доказательство теоремы о том, что геометрическое место вершины трёхгранного угла с прямыми плоскими углами, описанного около поверхности второго порядка, есть шар, и, наконец, теорию построения ортогональных проекций трехмёрных объектов на плоскости, получившую название эпюр Монжа (Йpure — от фр. чертёж, проект).