Замкнутость реляционной алгебры

Любое значение — отношение характеризуется заголовком и обилием кортежей. Значит любая операция обязана изготовлять отношение в полном значении, т. е оно надлежит владеть и обилием кортежей, и заголовком. Лишь только в данном случае возможно станет возводить вложенные выражения.

Заголовок отношения состоит из множества пар:. Если рассмотреть общий обзор реляционных операций, приведенный в данной рабoте, тj видно, что домены атрибутов результирующего отношения однозначно определяются доменами отношений-операндов. Однако с именами атрибутов результата не всегда все так просто. Например, если у отношений-операндов операции декартова произведения имеются одноименные атрибуты с одинаковыми доменами, то какой должен быть заголовок результирующего отношения? Так как мы рассматриваем множество, а в нем не должны содержаться одинаковые элементы. Но и потерять атрибут в результате недопустимо. Это значит, что в таком случае вообще невозможно корректно выполнить операцию декартова произведения.

Аналогичные проблемы могут возникнуть и в случаях других двуместных операций. Чтобы разрешить проблему, то в число операций реляционной алгебры вводится операция переименования. Ее следует применять в том случае, когда возникает конфликт именования атрибутов в отношениях-операндах одной реляционной операции. В этом случае к одному из операндов сначала применяется операция переименования, а затем основная операция выполняется уже без всяких проблем. Более строго можно определить операцию переименования в следующей лекции, а пока лишь заметим, что результатом этой операции является отношение, совпадающее во всем с отношением-операндом, кроме того, что имя указанного атрибута изменено на заданное имя. В дальнейшем изложении предположим, что применение операции переименования во всех конфликтных ситуациях. Можно заметить, что невозможно применить некоторых операций к произвольным парам значений отношений без предварительного переименования атрибутов отношений операндов. Это означает, что «алгебра» Кодда не является алгеброй отношений в математическом смысле. Описываемая Алгебра A такими недостатками не обладает: результатом применения любой операции к любым отношениям является некоторое отношение.