Упражнения к главе x

• 1. Продолжить аналитически в комплексную область функции действительного переменного: arctg х, arcsin х.
• 2. Показать, что степенные ряды

не продолжаемы за круг сходимости.

3. Будет ли действительная функция F (x)-=Vxⁱ, определённая в области — оо < дг < + оо, продолжаема в комплексную плоскость?

Отв. Нет.

4. Будет ли действительная функция /(л*), определённая при — 1 < а* < 1 посредством равенств:

)

и

продолжаема в комплексную плоскость?

Отв. Нет.

5. Пусть функция f (z) есть аналитическая в нулевой точке и удовлетворяет в окрестности этой точки уравнению:

Показать, что f (z) продолжаема на всю плоскость, fi. Какие из функций, определённых Формулами:

будут однозначными и какие многозначными?

гг

— ~Т «о.

Отв. а) Две однозначные функции е и — е .

• б) Двузначная функция с точками разветвления z=(2Л4−1) -j .
• в) Две однозначные функции 4- cos г и — cos z.
• г) Бесконечное множество однозначных функций z—2kri.
• д) Одна бесконечнозначная функция с точками разветвления О, it я, it 2*,. • •
• е) Однозначная функция. _ч
• 7. Если f (z) непрерывна в области G и дифференцируема в каждой точке области G, кроме точек прямолинейного отрезка, принадлежащего О, го f (z) — аналитическая во^ всей области О.
• 8. Две области G и С/₂ примыкают друг к Другу вдоль прямолинейного отрезка. Функция f (z)— аналитическая в «области G_b /з (г)—в G_t. Если j_x и /₂ на отрезке принимают одни и те же граничные значения, то они являются аналитическими продолжениями друг друга.