Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки

С теорией статистического оценивания параметров тесно связана проверка статистических гипотез. Она используется всякий раз, когда необходим обоснованный вывод о преимуществах того или иного способа инвестиций, измерений, стрельбы, технологического процесса, об эффективности нового метода обучения, управления, о пользе вносимого удобрения, лекарства, об уровне доходности ценных бумаг, о значимости математической модели и т. д. [2,c. 345].

Определение: Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения. [2,c. 345].

Различают простую и сложную статистические гипотезы. Простая гипотеза, в отличие от сложной, полностью определяет теоретическую функцию распределения случайной величины. Например, гипотезы «вероятность появления события в схеме Бернулли равна ½», «закон распределения. случайной величины нормальный с параметрами а=0, у²= 1» являются простыми, а гипотезы «вероятность появления события в схеме Бернyлли заключена между 0,3 и 0,6», «закон распределения не является нормальным» — сложными. [2,c. 345].

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой (или основной) и обозначают H₀. Наряду с нулевой гипотезой Н₀ рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу H₁, являющуюся логическим отрицанием H₀. Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез. [2,c. 345].

Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика) полученная по выборке X_1…X_n, точное или приближенное распределение которой известно. [2,c. 345].

Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение — такое, что если гипотеза Н₀ верна, то вероятность = мала; так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событие можно (с некоторым риском) считать практически невозможным. [2,c. 346].

Поэтому, если в данном конкретном случае обнаруживается отклонение то гипотеза Н₀ отвергается, в то время как появление значения, считается совместимым с гипотезой Н₀, которая тогда принимается (точнее, не отвергается). [2,c. 346].

Правило, по которому гипотеза Н₀ отвергается или принимается, называется статистическим критерием или статистическим текстом. [2,c. 346].

Таким образом, множество возможных значений статистики критерия (критической статистики) разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область (область отклонения гипотезы) W и область допустимых значений (область принятия гипотезы) . Если фактически наблюдаемое значение cтатистики критерия попадает в критическую область W, то гипотезу Н₀ отвергают. При этом возможны четыре случая.

[2,c. 346].

Определение: Вероятность допустить ошибку l-го рода, т. е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она верна, называется уровнем значимости, или размером, критерия.

Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т. е. принять гипотезу Н₀, когда она неверна, обычно обозначают. 2, c. 346].

Определение: Вероятность не допустить ошибку 2-го рода, т. е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она неверна, называется мощностью (или функцией мощности) критерия. [2,c. 346].