Постановка задачи на построение и основные этапы ее решения

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперед заданным набором инструментов некоторую фигуру, если даны некоторые соотношения между элементами этой фигуры или дана другая фигура и указаны определенные соотношения между элементами искомой фигуры и данной.

Решением задачи на построение является любая фигура, удовлетворяющая условию задачи.

Найти решение задачи на построение — значит свести ее к конечному числу основных построений, т. е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура уже считается построенной.

Решить задачу на построение — значит найти все ее решения.

Заметим, что фигуры, удовлетворяющие условию задачи на построение, могут отличаться размерами, формой и положением на плоскости. Различия в расположении найденных фигур на плоскости принимаются или не принимаются в расчет в зависимости от формулировки самой задачи. Дело в этом случае обстоит так.

Если в задаче на построение не предусматривается определенное расположение искомой фигуры, то задача считается решенной тогда, когда:

• а) построено несколько неравных фигур (Ф_1; Ф₂, …, Ф^), удовлетворяющих условию задачи (задача имеет к решений);
• б) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условию задачи, равна одной из них (задача имеет к решений с точностью до равенства).

Если в задаче на построение указано вполне определенное расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то задача считается решенной тогда, когда:

• а) построено несколько фигур, удовлетворяющих условию задачи;
• б) доказано, что любая фигура, удовлетворяющая условию задачи, совпадает с одной из них. При этом равные фигуры, но различно расположенные, считаются решениями различными.

Нижеследующие примеры поясняют сказанное относительно положения искомой фигуры (фигур) на плоскости.

Задача «Построить треугольник по трем сторонам» не предусматривает определенного расположения искомой фигуры, а значит, она имеет одно решение.

Задача «Построить треугольник так, чтобы одной из его сторон был бы заданный отрезок АВ, а две другие его стороны были бы равны двум заданным отрезкам а и Ь» предусматривает определенное расположение искомого треугольника, а именно, в ней сказано о расположении искомого треугольника относительно отрезка АВ, а значит, задача имеет два решения.

Если построение фигуры отличается размерами или формой, то решения всегда считаются различными.

Иногда условие задачи на построение дает простор в выборе данных. Например, в задаче «Провести касательную к окружности из данной точки» есть три возможных случая:

• 1) точка лежит на окружности;
• 2) точка лежит вне окружности;
• 3) точка лежит внутри окружности.

Задачи на построение с многочисленными вариантами выбора данных считаются решенными, если рассмотрены все эти варианты.

Решение задачи на построение содержит обычно четыре этапа: анализ — построение — доказательство — исследование. Эти этапы пришли к нам от греческих математиков. В IV в. до н.э. греческие мыслители разработали эту общую схему решения геометрических задач на построение, которой мы пользуемся и поныне.

Опишем каждый из этих этапов.